Найти приращение энтропии в процессе

Этот вопрос относится к предмету "Термодинамика" в физике, в частности к разделу, который изучает энтропию и процессы изменения состояния идеальных газов. Найдём приращение энтропии воздуха в данном процессе. Нам известно, что воздух сжимается адиабатически с уменьшением объёма в 6 раз, а затем при постоянном объёме его давление увеличивается в 1,5 раза.

1. Адиабатическое сжатие:

Адиабатический процесс – это процесс, в котором система не обменивается теплотой с окружающей средой. Для адиабатического процесса уравнение состояния имеет вид: \( P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma \) где:

• \( P \) — давление,
• \( V \) — объём,
• \( \gamma \) — показатель адиабаты (для воздуха \(\gamma \approx 1.4\)).

Обозначим начальные параметры объёма и давления как \( V_1 \) и \( P_1 \), после адиабатического сжатия объём станет \( V_2 = \frac{V_1}{6} \). Подставляем эти значения в уравнение:

\[ P_1 V_1^\gamma = P_2 \left( \frac{V_1}{6} \right)^\gamma \]

Решаем уравнение для \( P_2 \):

\[ \frac{P_1 V_1^\gamma}{\frac{V_1^\gamma}{6^\gamma}} = P_2 \]

\[ P_2 = P_1 \cdot 6^\gamma \]

2. Изохорный процесс:

При постоянном объёме давление увеличивается в 1,5 раза. После адиабатического сжатия давление стало \( P_2 \):

\[ P_3 = 1.5 P_2 \] где \( P_3 \) — конечное давление.

Подставляем \( P_2 \):

\[ P_3 = 1.5 (P_1 \cdot 6^\gamma) \]

3. Изменение энтропии:

Энтропия изменяется только в необратимых процессах. В нашем случае это изохорный процесс (поскольку в адиабатическом процессе \( \Delta S = 0 \)). Изменение энтропии при изохорном процессе \( \Delta S \) вычисляется по формуле:

\[ \Delta S = n C_v \ln \left( \frac{T_3}{T_2} \right) \] где:

• \( n \) — количество вещества,
• \( C_v \) — теплоёмкость при постоянном объёме,
• \( T_2 \) — температура после адиабатического сжатия,
• \( T_3 \) — температура после изохорного процесса.

Воспользуемся уравнением состояния идеального газа \( PV = nRT \):

\[ \frac{P_2}{T_2} = \frac{P_1}{T_1} \] Отсюда:

\[ T_2 = T_1 \cdot 6^{\gamma - 1} \]

После изохорного нагрева:

\[ \frac{P_3}{T_3} = \frac{P_2}{T_2} \]

\[ T_3 = 1.5 \cdot T_2 \]

Подставляем \( T_2 \):

\[ T_3 = 1.5 \cdot T_1 \cdot 6^{\gamma - 1} \]

Теперь вычисляем прирост энтропии:

\[ \Delta S = n C_v \ln \left( \frac{T_3}{T_2} \right) \]

\[ \Delta S = n C_v \ln (1.5) \]

Для воздуха, приближаемом идеальным газом, его молярная масса \( M \approx 29 \text{ г/моль} \). Количество вещества \( n \):

\[ n = \frac{m}{M} = \frac{1 \text{ кг}}{0.029 \text{ кг/моль}} \approx 34.48 \text{ моль} \]

Значение \( C_v \) для воздуха примерно равно \(\frac{5}{2}R\), где \( R \) — универсальная газовая постоянная ( \( R \approx 8.31 \text{ Дж/(моль·К)} \)). Теперь подставим значения:

\[ \Delta S = 34.48 \text{ моль} \cdot \frac{5}{2} \cdot 8.31 \text{ Дж/(моль·К)} \ln (1.5) \]

Рассчитаем:

\[ \Delta S \approx 34.48 \cdot 20.775 \cdot 0.4055 \approx 290.3 \text{ Дж/К} \]

Приращение энтропии воздуха в этом процессе составляет примерно 290.3 Дж/К.