Найти давление Р, под которым находится азот

Предмет: Физика

Раздел предмета: Молекулярная физика и термодинамика

Решение задачи:

1.

Запишем исходные данные задачи:

Объем сосуда \( V = 20 \) л \(\approx 0.02 \) м³ (необходимо перевести в кубические метры, так как в международной системе единиц используем метры).
Кинетическая энергия поступательного движения молекул \( E_{\text{пост}} = 5 \) кДж \(\approx 5000 \) Дж (переводим в Джоули).
Средняя квадратичная скорость молекул \( \nu_{\text{кв}} = 2000 \) м/с. 2.

Свяжем кинетическую энергию молекул с температурой газа:

Формула для кинетической энергии поступательного движения молекул в идеальном газе: \[ E_{\text{пост}} = \frac{3}{2} k_B T N \] где \( k_B \) – постоянная Больцмана (\( k_B \approx 1.38 \times 10^{-23} \) Дж/К), \( T \) – температура, \( N \) — число молекул. 3.

Используем среднюю квадратичную скорость для нахождения температуры:

Формула средней квадратичной скорости молекул: \[ \nu_{\text{кв}} = \sqrt{\frac{3 k_B T}{m}} \] где \( m \) – масса одной молекулы. 4.

Найдём массу одной молекулы азота (N₂):

Молярная масса азота \( M \approx 28 \) г/моль \( \approx 0.028 \) кг/моль (переводим в кг/моль).
Число Авогадро \( N_A \approx 6.022 \times 10^{23} \) 1/моль.
Тогда масса одной молекулы \( m \approx \frac{0.028}{6.022 \times 10^{23}} \approx 4.65 \times 10^{-26} \) кг. 5.

Подставим значения в уравнение средней квадратичной скорости и решим его для температуры \( T \):

\[ \nu_{\text{кв}} = \sqrt{\frac{3 k_B T}{m}} \]
\[ 2000 = \sqrt{\frac{3 \times 1.38 \times 10^{-23} \times T}{4.65 \times 10^{-26}}} \]
\[ 2000^2 = \frac{3 \times 1.38 \times 10^{-23} \times T}{4.65 \times 10^{-26}} \]
\[ T = \frac{4.65 \times 10^{-26} \times (2000)^2}{3 \times 1.38 \times 10^{-23}} \]
\[ T \approx 2240 \text{ К} \] 6.

Используем уравнение состояния идеального газа для нахождения давления \( P \):

Уравнение состояния идеального газа: \[ P V = N k_B T \]
Известно, что общее число молекул можно найти как: \[ N = \frac{E_{\text{пост}}}{\frac{3}{2} k_B T} \]
Подставим значения: \[ N = \frac{5000}{\frac{3}{2} \times 1.38 \times 10^{-23} \times 2240} \]
\[ N \approx 8.01 \times 10^{23} \] 7.

Теперь найдем давление:

\[ P = \frac{N k_B T}{V} \]
\[ P = \frac{8.01 \times 10^{23} \times 1.38 \times 10^{-23} \times 2240}{0.02} \]
\[ P \approx 1.24 \times 10^{6} \text{ Па} \]

Ответ:

Давление \( P \approx 1.24 \) МПа.