Найдите среднюю продолжительность свободного пробега молекулводорода при температуре 270С и давлении 0,5 кПа

Предмет: Физика
Раздел предмета: Молекулярная физика и термодинамика

Для решения задачи найдем среднюю продолжительность свободного пробега молекул \langle \tau \rangle. Средняя продолжительность свободного пробега молекулы связана с длиной свободного пробега \langle \lambda \rangle и средней скоростью молекулы \langle v \rangle следующим образом:

\langle \tau \rangle = \frac{\langle \lambda \rangle}{\langle v \rangle}.

Шаг 1. Найдем длину свободного пробега \langle \lambda \rangle

Длина свободного пробега молекул рассчитывается по формуле:

\langle \lambda \rangle = \frac{k_B T}{\sqrt{2} \pi d^2 P},

где:

• k_B = 1.38 \cdot 10^{-23} \, \text{Дж/К} — постоянная Больцмана,
• T — абсолютная температура,
• d — диаметр молекулы,
• P — давление.

Дано:

• Температура T = 27^\circ \text{C} = 273 + 27 = 300 \, \text{К},
• Давление P = 0.5 \, \text{кПа} = 0.5 \cdot 10^3 \, \text{Па},
• Диаметр молекулы водорода d = 0.28 \, \text{нм} = 0.28 \cdot 10^{-9} \, \text{м}.

Подставим данные в формулу:

\langle \lambda \rangle = \frac{1.38 \cdot 10^{-23} \cdot 300}{\sqrt{2} \cdot \pi \cdot (0.28 \cdot 10^{-9})^2 \cdot 0.5 \cdot 10^3}.

Выполним вычисления:

1. Вычислим d^2:
   d^2 = (0.28 \cdot 10^{-9})^2 = 0.0784 \cdot 10^{-18} = 7.84 \cdot 10^{-20} \, \text{м}^2.
2. Вычислим знаменатель:
   \sqrt{2} \cdot \pi \cdot d^2 \cdot P = 1.414 \cdot 3.1416 \cdot 7.84 \cdot 10^{-20} \cdot 0.5 \cdot 10^3 = 1.74 \cdot 10^{-16}.
3. Числитель:
   k_B T = 1.38 \cdot 10^{-23} \cdot 300 = 4.14 \cdot 10^{-21}.
4. Длина свободного пробега:
   \langle \lambda \rangle = \frac{4.14 \cdot 10^{-21}}{1.74 \cdot 10^{-16}} \approx 2.38 \cdot 10^{-5} \, \text{м} = 23.8 \, \mu\text{м}.

Шаг 2. Найдем среднюю скорость молекулы \langle v \rangle

Средняя скорость молекулы газа определяется по формуле:

\langle v \rangle = \sqrt{\frac{8 k_B T}{\pi m}},

где:

• m — масса одной молекулы газа.

Масса одной молекулы водорода:
m = \frac{M}{N_A},
где:

• M = 2 \cdot 10^{-3} \, \text{кг/моль} — молярная масса водорода,
• N_A = 6.022 \cdot 10^{23} \, \text{моль}^{-1} — число Авогадро.

Подставим данные:
m = \frac{2 \cdot 10^{-3}}{6.022 \cdot 10^{23}} \approx 3.32 \cdot 10^{-27} \, \text{кг}.

Теперь найдем \langle v \rangle:
\langle v \rangle = \sqrt{\frac{8 \cdot 1.38 \cdot 10^{-23} \cdot 300}{\pi \cdot 3.32 \cdot 10^{-27}}}.

1. Числитель:
   8 \cdot 1.38 \cdot 10^{-23} \cdot 300 = 3.312 \cdot 10^{-20}.
2. Знаменатель:
   \pi \cdot 3.32 \cdot 10^{-27} = 1.043 \cdot 10^{-26}.
3. Отношение:
   \frac{3.312 \cdot 10^{-20}}{1.043 \cdot 10^{-26}} \approx 3.18 \cdot 10^6.
4. Корень:
   \langle v \rangle = \sqrt{3.18 \cdot 10^6} \approx 1.78 \cdot 10^3 \, \text{м/с}.

Шаг 3. Найдем \langle \tau \rangle

Теперь подставим значения \langle \lambda \rangle и \langle v \rangle в формулу для средней продолжительности свободного пробега:

\langle \tau \rangle = \frac{\langle \lambda \rangle}{\langle v \rangle} = \frac{2.38 \cdot 10^{-5}}{1.78 \cdot 10^3} \approx 1.34 \cdot 10^{-8} \, \text{с}.

Ответ:

Средняя продолжительность свободного пробега молекул водорода:
\langle \tau \rangle \approx 1.34 \cdot 10^{-8} \, \text{с}.