Найдите среднюю продолжительность свободного пробега молекулводорода при температуре 270С и давлении 0,5 кПа

Предмет: Физика
Раздел предмета: Молекулярная физика и термодинамика

Для решения задачи найдем среднюю продолжительность свободного пробега молекул $⟨\tau ⟩$. Средняя продолжительность свободного пробега молекулы связана с длиной свободного пробега $⟨\lambda ⟩$ и средней скоростью молекулы $⟨v⟩$ следующим образом:

$⟨\tau ⟩=\frac{⟨\lambda ⟩}{⟨v⟩}$.

Шаг 1. Найдем длину свободного пробега $⟨\lambda ⟩$

Длина свободного пробега молекул рассчитывается по формуле:

$⟨\lambda ⟩=\frac{k_{B}T}{\sqrt{2}\pi d^{2}P}$,

где:

• $k_B=1.38\cdot {10}^{-23}\text{Дж/К}$ — постоянная Больцмана,
• $T$ — абсолютная температура,
• $d$ — диаметр молекулы,
• $P$ — давление.

Дано:

• Температура $T={27}^{\circ }\text{C}=273+27=300\text{К}$,
• Давление $P=0.5\text{кПа}=0.5\cdot {10}^3\text{Па}$,
• Диаметр молекулы водорода $d=0.28\text{нм}=0.28\cdot {10}^{-9}\text{м}$.

Подставим данные в формулу:

$⟨\lambda ⟩=\frac{1.38\cdot {10}^{-23}\cdot 300}{\sqrt{2}\cdot \pi \cdot (0.28\cdot {10}^{-9}{)}^2\cdot 0.5\cdot {10}^3}$.

Выполним вычисления:

1. Вычислим $d^2$:
   $d^2=(0.28\cdot {10}^{-9}{)}^2=0.0784\cdot {10}^{-18}=7.84\cdot {10}^{-20}{\text{м}}^2$.
2. Вычислим знаменатель:
   $\sqrt{2}\cdot \pi \cdot d^2\cdot P=1.414\cdot 3.1416\cdot 7.84\cdot {10}^{-20}\cdot 0.5\cdot {10}^3=1.74\cdot {10}^{-16}$.
3. Числитель:
   $k_{B}T=1.38\cdot {10}^{-23}\cdot 300=4.14\cdot {10}^{-21}$.
4. Длина свободного пробега:
   $⟨\lambda ⟩=\frac{4.14\cdot {10}^{-21}}{1.74\cdot {10}^{-16}}\approx 2.38\cdot {10}^{-5}\text{м}=23.8\mu \text{м}$.

Шаг 2. Найдем среднюю скорость молекулы $⟨v⟩$

Средняя скорость молекулы газа определяется по формуле:

$⟨v⟩=\sqrt{\frac{8k_{B}T}{\pi m}}$,

где:

• $m$ — масса одной молекулы газа.

Масса одной молекулы водорода:
$m=\frac{M}{N_A}$,
где:

• $M=2\cdot {10}^{-3}\text{кг/моль}$ — молярная масса водорода,
• $N_A=6.022\cdot {10}^{23}{\text{моль}}^{-1}$ — число Авогадро.

Подставим данные:
$m=\frac{2\cdot {10}^{-3}}{6.022\cdot {10}^{23}}\approx 3.32\cdot {10}^{-27}\text{кг}$.

Теперь найдем $⟨v⟩$:
$⟨v⟩=\sqrt{\frac{8\cdot 1.38\cdot {10}^{-23}\cdot 300}{\pi \cdot 3.32\cdot {10}^{-27}}}$.

1. Числитель:
   $8\cdot 1.38\cdot {10}^{-23}\cdot 300=3.312\cdot {10}^{-20}$.
2. Знаменатель:
   $\pi \cdot 3.32\cdot {10}^{-27}=1.043\cdot {10}^{-26}$.
3. Отношение:
   $\frac{3.312\cdot {10}^{-20}}{1.043\cdot {10}^{-26}}\approx 3.18\cdot {10}^6$.
4. Корень:
   $⟨v⟩=\sqrt{3.18\cdot {10}^6}\approx 1.78\cdot {10}^3\text{м/с}$.

Шаг 3. Найдем $⟨\tau ⟩$

Теперь подставим значения $⟨\lambda ⟩$ и $⟨v⟩$ в формулу для средней продолжительности свободного пробега:

$⟨\tau ⟩=\frac{⟨\lambda ⟩}{⟨v⟩}=\frac{2.38\cdot {10}^{-5}}{1.78\cdot {10}^3}\approx 1.34\cdot {10}^{-8}\text{с}$.

Ответ:

Средняя продолжительность свободного пробега молекул водорода:
$⟨\tau ⟩\approx 1.34\cdot {10}^{-8}\text{с}$.