Каким числом способов могут быть распределены эти молекулы между левой и правой половинами сосуда?

Определение предмета и раздела:

Предмет: Термодинамика и статистическая физика
Раздел: Статистическая механика, энтропия и распределение частиц

Решение:

1. Число способов распределения молекул

В сосуде содержатся две различные молекулы, которые могут находиться либо в левой, либо в правой половине сосуда. Каждая молекула имеет 2 возможных состояния (левая или правая половина). Так как молекулы различны, общее число возможных распределений:

 \Omega = 2^N = 2^2 = 4 

Таким образом, возможные распределения:

1. Обе молекулы в левой половине.
2. Обе молекулы в правой половине.
3. Первая молекула в левой, вторая в правой.
4. Первая молекула в правой, вторая в левой.

2. Энтропия системы

Энтропия рассчитывается по формуле Больцмана:

 S = k_B \ln \Omega 

Где  k_B  — постоянная Больцмана.

Случай 1: Одна половина сосуда пустая

Если обе молекулы находятся в одной половине сосуда, то возможен только один способ размещения:

 \Omega_1 = 1 

Следовательно, энтропия:

 S_1 = k_B \ln 1 = 0 

Случай 2: Молекулы распределены поровну

Если одна молекула находится в левой половине, а другая в правой, то есть два возможных способа размещения:

 \Omega_2 = 2 

Тогда энтропия:

 S_2 = k_B \ln 2 

Так как  \ln 2 \approx 0.693 , то:

 S_2 \approx 0.693 k_B 

Вывод:

• Когда обе молекулы находятся в одной половине сосуда, энтропия минимальна (S = 0).
• Когда молекулы распределены поровну, энтропия увеличивается и составляет  0.693 k_B .
• Это соответствует общему принципу, что система стремится к состоянию с максимальной энтропией, то есть к равномерному распределению молекул.