Доказать непрерывность функции ( y = x^3 ) с помощью определения непрерывности

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (Непрерывность функции)

Задание:

Доказать непрерывность функции ( y = x^3 ) с помощью определения непрерывности по «( \varepsilon - \delta )».

Определение непрерывности по ( \varepsilon - \delta )

Функция ( f(x) ) называется непрерывной в точке ( x_0 ), если выполняется следующее условие:

\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 \quad \text{такое, что} \quad |x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon.

Это означает, что если мы достаточно мало изменим ( x ) (на величину меньше ( \delta )), то значение функции ( f(x) ) изменится не более чем на ( \varepsilon ).

Шаг 1: Подставляем функцию

В нашем случае ( f(x) = x^3 ), поэтому условие непрерывности принимает вид:

|x - x_0| < \delta \quad \Rightarrow \quad |x^3 - x_0^3| < \varepsilon.

Шаг 2: Преобразуем выражение

Используем разложение разности кубов:

x^3 - x_0^3 = (x - x_0)(x^2 + x x_0 + x_0^2).

Поэтому неравенство принимает вид:

|x^3 - x_0^3| = |x - x_0| \cdot |x^2 + x x_0 + x_0^2|.

Нам нужно добиться, чтобы это выражение было меньше ( \varepsilon ).

Шаг 3: Оценка выражения ( |x^2 + x x_0 + x_0^2| )

Чтобы контролировать величину ( |x^2 + x x_0 + x_0^2| ), введем ограничение:

Пусть ( |x - x_0| < 1 ), тогда ( x ) находится в интервале ( (x_0 - 1, x_0 + 1) ). Оценим:

|x^2 + x x_0 + x_0^2| \leq (|x| + |x_0|)^2.

Если ( |x - x_0| < 1 ), то можно грубо оценить ( |x| \leq |x_0| + 1 ), тогда:

|x^2 + x x_0 + x_0^2| \leq (|x_0| + 1)^2 + |x_0|(|x_0| + 1) + x_0^2 = 3x_0^2 + 3|x_0| + 1.

Обозначим ( M = 3x_0^2 + 3|x_0| + 1 ), тогда:

|x^3 - x_0^3| \leq M |x - x_0|.

Шаг 4: Выбор ( \delta ) в зависимости от ( \varepsilon )

Чтобы выполнялось ( |x^3 - x_0^3| < \varepsilon ), достаточно потребовать:

M |x - x_0| < \varepsilon.

Отсюда получаем:

|x - x_0| < \frac{\varepsilon}{M}.

Теперь выбираем:

\delta = \min \left( 1, \frac{\varepsilon}{M} \right).

Шаг 5: Проверка условия

При таком выборе ( \delta ), если ( |x - x_0| < \delta ), то:

|x^3 - x_0^3| \leq M |x - x_0| < M \cdot \frac{\varepsilon}{M} = \varepsilon.

Значит, условие непрерывности по ( \varepsilon - \delta ) выполнено.

Вывод:

Функция ( f(x) = x^3 ) непрерывна в любой точке ( x_0 ), так как для любого ( \varepsilon > 0 ) мы смогли подобрать соответствующее ( \delta > 0 ), удовлетворяющее определению непрерывности.

Интуитивное объяснение

Функция ( x^3 ) — это полином, а полиномы всегда непрерывны. Это означает, что если слегка изменить ( x ), значение ( x^3 ) тоже изменится плавно, без скачков. Формальное доказательство через ( \varepsilon - \delta ) подтверждает это строго.