Законы сохранения энергии, импульса и момента импульса

Пример 1:

Тело массы m начинают поднимать с поверхности Земли, приложив к нему силу F, которую изменяют с высотой подъема y по закону F =2(ay−1)mg, где a — положительная постоянная. Найти работу этой силы и приращение потенциальной энергии тела в поле тяжести Земли на первой половине пути подъема. 

Решение от преподавателя:

Решение:

Сначала определим суммарную высоту подъема. В начале и конце пути скорости тела равна нулю, поэтому приращение кинетической энергии тела также равно нулю. С другой стороны, согласно теореме о работе и энергии ΔT равно алгебраической сумме работ A, выполняемых всеми силами, т.е. силой F и гравитацией, по этому пути. Однако, так как ΔT=0, то A=0. Учитывая, что направление восходящего направления предполагается совпадающим с положительным направлением оси y, мы можем записать 

Откуда h=1/a.

Работа, выполняемая силой F в первой половине подъема,

Соответствующее приращение потенциальной энергии 

Пример 2:

Кинетическая энергия частицы, движущейся по окружности радиуса R, зависит от пройденного пути s по закону T=as², где a — постоянная. Найти силу, действующую на частицу, в зависимости от s. 

Решение от преподавателя:

Решение:

Дифференцируя уравнение (1) по времени 

Следовательно, искомое ускорение частицы 

Следовательно, искомая сила 

Пример 3:

Потенциальная энергия частицы в некотором поле имеет вид U=a/r²−b/r, где a и b — положительные постоянные, r —расстояние от центра поля. Найти:

а) значение r₀, соответствующее равновесному положению частицы; выяснить, устойчиво ли это положение;

б) максимальное значение силы притяжения; изобразить графики зависимостей U(r) и F_r(r) — проекции силы на радиус-вектор r. 

Решение от преподавателя:

Решение:

Из уравнения 

получаем

(a) Имеем при r=r₀, частица находится в равновесном положении, т.е. F_r=0, так что r0=2a\b.

Чтобы проверить, является ли положение устойчивым (положение устойчивого равновесия), должно выполняться условие 

Подставляя значение 

получаем 

(Поскольку a и b - положительные постоянные) Итак, 

Что указывает на то, что потенциальная энергия системы минимальна, следовательно, это положение устойчиво.

(б) Имеем 

Для того чтобы F был максимальным,

Итак,

Так как FrFr отрицательно, сила притягивающая. 

Пример 4:

Тело массы mm медленно втащили на горку, действуя силой F, которая в каждой точке направлена по касательной к траектории (рис.). Найти работу этой силы, если высота горки к, длина ее основания l и коэффициент трения k. 

Решение от преподавателя:

Решение:

Пусть F образует угол θ с горизонталью в любой момент времени (рис.). Второй закон Ньютона в проекционном виде вдоль направления силы дает: 

Пример 5:

Потенциальная энергия частицы в некотором двумерном силовом поле имеет вид U=αx²+βy², где α и β — положительные постоянные, не равные друг другу. Выяснить:

а) является ли это поле центральным;

б) какую форму имеют эквипотенциальные поверхности, а также поверхности, для которых модуль вектора силы F=const. 

Решение от преподавателя:

Решение:

(a) Имеем 

Для центральной силы 

Здесь

Следовательно, сила не является центральной силой. 

(б) Поскольку

То,

Итак,

В соответствии с условием задачи 

Поэтому поверхности, для которых F является постоянной, являются эллипсами.

Для эквипотенциальной поверхности U постоянна Таким образом, 

или,

Следовательно, эквипотенциальная поверхность также является эллипсом. 

Пример 6:

Шайба массы m=50г соскальзывает без начальной скорости по наклонной плоскости, составляющей угол α=30^∘ с горизонтом, и, пройдя по горизонтальной плоскости расстояние l=50см, останавливается. Найти работу сил трения на всем пути, считая всюду коэффициент трения k=0,15. 

Решение от преподавателя:

Решение:

Пусть s - расстояние, пройденное диском вдоль наклонной плоскости, из уравнения Приращения центра масс диска в поле тяготения: ΔT+ΔU=A_fr 

Следовательно, искомая работа 

Пример 7:

Имеются два стационарных силовых поля:  F=ayi и  F=axi+byj, где i,j — орты осей x и y, a и b — постоянные. Выяснить, являются ли эти поля потенциальными. 

Решение от преподавателя:

Решение:

Вычислим работу сил каждого поля по пути из некоторой точки 1(x₁,y₁) в другую определенную точку 2(x₂,y₂) 

В первом случае интеграл зависит от функции типа y(x), т.е. от формы траектории. Следовательно, первое силовое поле не является потенциальным. Во втором случае оба интеграла не зависят от формы пути. Они определяются только координатой начальной и конечной точек пути, поэтому второе силовое поле потенциально. 

Пример 8:

Два бруска с массами m₁ и m₂, соединенные недеформированной легкой пружинкой, лежат на горизонтальной плоскости. Коэффициент трения между брусками и плоскостью равен k. Какую минимальную постоянную силу нужно приложить в горизонтальном направлении к бруску с массой m₁, чтобы другой брусок сдвинулся с места? 

Решение от преподавателя:

Решение:

Пусть x - сжатие пружины, когда брусок m₂ сдвинется. Поэтому в этот момент усилие пружины на m₂ равно предельному трению между бруском m₂ и плоскостью. следовательно 

Для бруска m₁ энергия: A=ΔT=0 для минимальной силы. (Здесь показана работа, проделанная при растяжении пружины). 

Из (1) и (2), 

Пример 9:

Тело массы mm пустили вверх по наклонной плоскости, составляющей угол αα с горизонтом. Начальная скорость тела равна v₀, коэффициент трения — k. Какой путь пройдет тело до остановки и какова на этом пути работа силы трения? 

Решение от преподавателя:

Решение:

Пусть s - искомое расстояние, тогда из уравнения приращения механической энергии 

или,

Следовательно,

Пример 10:

Цепочка массы m=0,80кг, длины l=1,5м лежит на шероховатом столе так, что один ее конец свешивается у его края. Цепочка начинает сама соскальзывать, когда ее свешивающаяся часть составляет η=1/3 длины цепочки. Какую работу совершат силы трения, действующие на цепочку, при ее полном соскальзывании со стола? 

Решение от преподавателя:

Решение:

Из начального условия задачи предельное сцепление для соскальзывания цепи, лежащей на горизонтальной плоскости, равно весу свешивающийся части цепи, т.е. 

Пусть (в произвольный момент времени) длина цепочки на столе равна xx. Таким образом, сила трения между цепью и столом в данный момент: 

Дифференциальная работа, выполняемая силами трения: 

(Заметим, что здесь мы написали ds=−dx., Так как ds - по существу положительный член, а длина цепочки убывает со временем, dx отрицательна) Следовательно, искомая работа 

Пример 11:

Небольшая шайба A соскальзывает без начальной скорости с вершины гладкой горки высоты H, имеющей горизонтальный трамплин (рис.). При какой высоте h трамплина шайба пролетит наибольшее расстояние s? Чему оно равно? 

Решение от преподавателя:

Решение:

Скорость тела на высоте h, 

по горизонтали (по данным, приведенным в задаче). Время, затраченное на прохождение расстояния h. 

(Поскольку начальная вертикальная составляющая скорости равна нулю).

Таким образом 

Для

что дает,

Подставив это значение h в полученное выражение для s, получим,

s_max=H 

 

Пример 12:

Тело массы m бросили под углом α к горизонту с начальной скоростью v₀. Найти среднюю мощность, развиваемую силой тяжести за все время движения тела, и мгновенную мощность этой силы как функцию времени.

Решение от преподавателя:

Решение:

Скорость тела, через t секунд после начала движения, равна 

Мощность, развиваемая силой тяжести в этот момент, равна

Поскольку  mg - постоянная сила, средняя мощность 

Пример 13:

Небольшое тело A начинает скользить с высоты h по наклонному желобу, переходящему в полуокружность радиуса h/2 (рис.). Пренебрегая трением, найти скорость тела в наивысшей точке его траектории (после отрыва от желоба). 

 

Решение от преподавателя:

Решение:

Чтобы пройти полуокружность радиуса R, минимальная высота, с которой частица начинает двигаться, должно быть равно 5\2R (это можно доказать из закона сохранения энергии). Таким образом, в нашей задаче тело не могло достигнуть самой верхней точки вертикальной дорожки.

Пусть частица A покинет трек в некоторой точке O со скоростью v (рис.). Из сохранения энергии для тела А в поле тяжести: 

Из второго закона Ньютона для частицы в точке O; 

Но в точке O нормальная реакция N=0

Таким образом,

Из (3) и (4) следует, что 

После отрыва в точке 0, частица А поднимается вверх и на максимальной высоте ее траектории в воздухе, ее скорость v′ становится горизонтальной (рис.). Следовательно, искомая скорость A в этой точке 

Пример 14:

Частица массы mm движется по окружности радиуса R с нормальным ускорением, которое меняется со временем по закону wn=at², где a — постоянная. Найти зависимость от времени мощности всех сил, действующих на частицу, а также среднее, значение этой мощности за первые t секунд после начала движения.

Решение от преподавателя:

Решение:

Имеем 

t определяется как время начала движения из покоя.

Итак, 

Мгновенная мощность, 

(Где - единичные векторы вдоль направления касательной (скорости) и нормали соответственно)

Итак, 

Следовательно, искомая средняя мощность 

Следовательно, 

Пример 15:

На нити длины l подвешен шарик массы m. С какой наименьшей скоростью надо начать перемещать точку подвеса в горизонтальном направлении, чтобы шарик стал двигаться по окружности вокруг этой точки? Каково при этом натяжение нити в момент, когда она будет проходить горизонтальное положение? 

Решение от преподавателя:

Решение:

Пусть точка подвески сдвигается со скоростью v_A в горизонтальном направлении влево, тогда в системе покоя точки подвески, шар начинает двигаться с той же скоростью горизонтально вправо. Давайте рассмотрим эту систему отсчета. Из второго закона Ньютона в проекционной форме к точке подвеса в самой верхней точке (скажем B): 

Условие, необходимое для завершения вертикального круга, состоит в том, что  T≥0 (2) . Но

Из (1), (2) и (3)

Таким образом,

Из уравнения F_n=mw_n в точке C

Опять же из сохранения энергии 

Из (4) и (5) следует, 

 

Пример 16:

Небольшое тело массы mm находится на горизонтальной плоскости в точке O. Телу сообщили горизонтальную скорость v₀. Найти:

а) среднюю мощность, развиваемую силой трения за все время движения, если коэффициент трения k=0,27,m=1,0кг и v₀=1,5м/с;

б) максимальную мгновенную мощность силы трения, если коэффициент трения меняется по закону k=αx, где α — постоянная, x — расстояние от точки О. 

Решение от преподавателя:

Решение:

Пусть тело m приобретает горизонтальную скорость v₀ вдоль положительной оси x в точке O.

(a) Скорость тела через t секунд после начала движения, 

Мгновенная мощность 

Из уравнения (1), время движения 

Следовательно, искомая средняя мощность за время движения 

Чтобы найти v(x), проинтегрируем приведенное выше уравнение 

Для максимальной мощности, 

что дает,

Подставляем это значение xx в уравнении (2) получим, 

Пример 17:

На горизонтальной плоскости находятся вертикально расположенный неподвижный цилиндр радиуса R и шайба A, соединенная с цилиндром горизонтальной нитью АВ длины l₀ (рис., вид сверху). Шайбе сообщили начальную скорость v₀, как показано на рисунке. Сколько времени она будет двигаться по плоскости до удара о цилиндр? Трения нет. 

Решение от преподавателя:

Решение:

Поскольку натяжение всегда перпендикулярно вектору скорости, работа, выполняемая силой растяжения, будет равна нулю. Следователь, кинетическая энергия или скорость диска будут оставаться постоянными во время его движения. Следовательно, искомое время 

где s - полное расстояние, пройденное маленьким диском во время его движения. В произвольном положении (рис.) 

Таким образом,

или,

Следовательно, требуемое время, 

Следует четко понимать, что единственной некомпенсированной силой, действующей на шайбу A в этом случае, является натяжение T, нити. Легко видеть, что здесь нет точки, относительно которой момент силы T является инвариантным в процессе движения. Поэтому сохранение углового момента здесь неприменимо. 

Пример 18:

В системе отсчета, вращающейся вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью ω=5,0рад/с, движется небольшое тело массы m=0,10кг. Какую работу совершила центробежная сила инерции при перемещении этого тела по произвольному пути из точки 1 в точку 2, которые расположены на расстояниях r1=30см и r2=50см от оси вращения? 

Решение от преподавателя:

Решение:

Центробежная сила направлена наружу вдоль радиальной линии, поэтому искомая работа 

Пример 19:

Гладкий резиновый шнур, длина которого l и коэффициент упругости k, подвешен одним концом к точке О (рис.). На другом конце имеется упор В. Из точки О начинает падать небольшая муфта A массы m. Пренебрегая массами шнура и упора, найти максимальное растяжение шнура.

 

Решение от преподавателя:

Решение:

Предположим, что Δl - удлинение шнура. Тогда из закона сохранения энергии,

Поскольку значение 

больше 1, следовательно, можно избежать отрицательного знака.

Так что 

 

Пример 20:

Система состоит из двух последовательно соединенных пружинок с коэффициентами жесткости k₁ и k₂. Найти минимальную работу, которую необходимо совершить, чтобы растянуть эту систему на Δl. 

Решение от преподавателя:

Решение:

Поскольку пружины соединены последовательно, комбинация может рассматриваться как одна пружина с коэффициентом жесткости

Из уравнения приращения механической энергии, 

Пример 21:

На гладкой горизонтальной плоскости лежит небольшой брусок A, соединенный нитями с точкой Р (рис.) и через невесомый блок — с грузом В той же массы, что и у бруска. Кроме того, брусок соединен с точкой О легкой недеформированной пружинкой длины l₀=50см и жесткостью ξ=5mg/l₀, где m — масса бруска. Нить РА пережгли, и брусок начал двигаться. Найти его скорость в момент отрыва от плоскости. 

Решение от преподавателя:

Решение:

Когда нить PA сожжена, очевидно, скорость брусков будет равной в любой момент времени, пока они не разъединяться. Пусть v - скорость каждого бруска, а θ - угол, между вытянутой пружиной и вертикалью в тот момент, когда стержень A отрывается от плоскости. На этом этапе удлинение упругое. 

Поскольку проблема связана с положением и нет никаких сил, кроме консервативных сил, механическая энергия системы (оба бруска + пружина) в поле силы тяжести сохраняется, т.е.

ΔT+ΔU=0 

Из второго закона Ньютона в проекционной форме вдоль вертикального направления: 

Но, в момент отрыва, N=0.

Следовательно, 

или,

Принимая

одновременное решение (2) и (3) дает

Пример 22:

На горизонтальной плоскости лежит доска и на ней брусок массы m=1,0кг, соединенный с точкой О (рис.) легкой упругой недеформированной нитью длины l₀=40см. Коэффициент трения между бруском и доской k=0,20. Доску начали медленно перемещать вправо до положения, при котором брусок стал скользить по ней. Это произошло в момент, когда нить отклонилась от вертикали на угол θ=30^∘. Найти работу, которую совершила к этому моменту сила трения, действующая на брусок, в системе отсчета, связанной с плоскостью. 

Решение от преподавателя:

Решение:

Очевидно, что удлинение шнура,

Δl=l₀(cos⁻¹θ−1), в момент начала скольжения, и в тот же момент горизонтальная проекция силы упругости равна предельному трению.

Итак,

k₁Δlsinθ=kN (1)

(Где k₁ - константа упругости).

Из закона Ньютона в проекционной форме по вертикали:

Из уравнения механической энергии:

ΔU+ΔT=A_fr 

таким образом,

Пример 23:

Гладкий легкий горизонтальный стержень АВ может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через его конец А. На стержне находится небольшая муфточка массы m, соединенная невесомой пружинкой длины l₀ с концом А. Жесткость пружинки равна k. Какую работу надо совершить, чтобы эту систему медленно раскрутить до угловой скорости ω? 

Решение от преподавателя:

Решение:

Пусть деформация в пружине равна Δl, когда стержень АВ достигает угловой скорости ωω. Из второго закона Ньютона в проекционной форме

F_n=mw_n. 

Из уравнения энергии имеем 

Решая,

 

 

Пример 24:

Через блок, укрепленный к потолку комнаты, перекинута нить, на концах которой подвешены тела с массами m₁ и m₂. Массы блока и нити пренебрежимо малы, трения нет. Найти ускорение w_C центра инерции этой системы. 

 

Решение от преподавателя:

Решение:

Мы знаем, что ускорение центра масс системы задается выражением. 

поскольку w₁=−w₂ 

Теперь из второго закона Ньютона

для тел m₁ и m₂ соответственно.

Решая (2) и (3)

Таким образом, из (1), (2) и (4), 

Пример 25:

Две взаимодействующие между собой частицы образуют замкнутую систему, центр инерции которой покоится. На рис. показаны положения обеих частиц в некоторый момент и траектория частицы с массой m₁. Построить траекторию частицы с массой m₂, если m₂=m₁/2. 

Решение от преподавателя:

Решение:

Поскольку замкнутая система, состоящая из двух частиц m₁ и m₂, изначально покоится, центр масс системы останется в покое. Далее, когда m₂=m₁/2, центр масс системы делит линию, соединяющую m₁ и m₂ во все моменты времени в отношении 1:2.

В дополнение к этому полный линейный импульс системы во все времена равен нулю.

Итак,

и поэтому скорости m₁ и m₂ также направлены в противоположном направлении. Учитывая все это, искомая траектория такова, как показано на рисунке. 

Пример 26:

Замкнутая цепочка А массы m=0,36кг соединена нитью с концом вертикальной оси центробежной машины (рис.) и вращается с постоянной угловой скоростью ω=35рад/с. При этом нить составляет угол θ=45^∘ с вертикалью. Найти расстояние от центра тяжести цепочки до оси вращения, а также натяжение нити. 

 

Решение от преподавателя:

Решение:

Прежде всего, ясно, что цепь не перемещается в вертикальном направлении во время равномерного вращения. Это означает, что вертикальная составляющая натяжения T уравновешивает силу тяжести. Что же касается горизонтальной составляющей T, то она постоянна по величине и постоянно направлена к оси вращения. Отсюда следует, что центр масс цепи, точка C, перемещается по горизонтальной окружности радиуса ρ. Поэтому имеем, 

Пример 27:

Круглый конус А, масса которого m=3,2кг и угол полураствора α=10^∘, катится равномерно без скольжения по круглой конической поверхности В так, что его вершина О остается неподвижной (рис.). Центр тяжести конуса A находится на одном уровне с точкой О и отстоит от нее на l=17см. 0сь конуса движется с угловой скоростью ω. Найти:

а) силу трения покоя, действующую на конус A, если ω=1,0рад/с;

б) при каких значениях со движение конуса A будет происходить без скольжения, если коэффициент трения между поверхностями k=0,25? 

Решение от преподавателя:

Решение:

(a) Проведем свободную диаграмму тела и напишем второй закон Ньютона в терминах проекции вдоль вертикального и горизонтального направлений соответственно. 

Из (1) и (2) 

(б) Без скольжения, 

Переставляя, получаем, 

Пример 28:

В K-системе отсчета вдоль оси x движутся две частицы: одна массы m₁ — со скоростью v₁, другая массы m₂ — со скоростью v₂. Найти:

а) скорость VK′ - системы отсчета, в которой суммарная кинетическая энергия этих частиц минимальна;

б) суммарную кинетическую энергию этих частиц в K′ - системе. 

 

Решение от преподавателя:

Решение:

(a) Общая кинетическая энергия в системе отсчета K′ равна 

она минимальна по отношению к изменению  V, тогда 

Следовательно, это система отсчета центра масс в которой кинетическая энергия системы минимальна.

(б) Линейный импульс частицы 1 в системе K′ или C 

Аналогичным образом, 

Таким образом, 

Полная кинетическая энергия системы в С-системе равна

 

Пример 29:

Система отсчета, в которой покоится центр инерции данной системы частиц, движется поступательно со скоростью V относительно инерциальной K-системы отсчета. Масса системы частиц равна m, ее полная энергия в системе центра инерции E'. Найти полную энергию E этой системы частиц в K-системе отсчета.

Решение от преподавателя:

Решение:

Чтобы найти связь между значениями механической энергии системы в системах отсчета K и C, начнем с кинетической энергии T систем. Скорость i-й частицы в К-кадре может быть представлена как

Можем записать

Так как в C-системе 

предыдущее выражение принимает вид 

Поскольку внутренняя потенциальная энергия U системы зависит только от ее конфигурации, величина U одинакова во всех системах отсчета. Добавляя U к левой и правой сторонам уравнения.

(1), получим искомое соотношение 

Пример 30:

На гладкой горизонтальной плоскости находятся две небольшие шайбы с массами m₁ и m₂, которые соединены между собой невесомой пружинкой. Шайбам сообщили начальные скорости v₁ и v₂, направления которых взаимно перпендикулярны и лежат в горизонтальной плоскости. Найти полную энергию этой системы E в системе центра инерции. 

Решение от преподавателя:

Решение:

Найдем скорости центра масс в обоих направлениях

аналогично

В системе центра инерции скорости шайб

Энергии шайб в системе центра масс

Пример 31:

Система состоит из двух шариков с массами m₁ и m₂, которые соединены между собой невесомой пружинкой. В момент t=0 шарикам сообщили начальные скорости v₁ и v₂, после чего система начала двигаться в однородном поле тяжести Земли. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти зависимости от времени полного импульса этой системы в процессе движения и радиус-вектора ее центра инерции относительно его начального положения. 

Решение от преподавателя:

Решение:

Скорость масс m₁ и m₂, после t секунд, соответственно. 

Следовательно, конечный импульс системы, 

И радиус-вектор, 

Пример 32:

На гладкой горизонтальной плоскости находятся два бруска с массами m₁ и m₂, соединенные невесомой пружинкой жесткости k (рис.). Брусок 2 переместили влево на небольшое расстояние х и отпустили. Найти скорость центра инерции системы после отрыва бруска 1 от стенки. 

Решение от преподавателя:

Решение:

После освобождения брусок 2 получает скорость v₂, полученную за счет потенциальной энергии: 

Таким образом, искомая скорость центра масс.

Пример 33:

На гладкой горизонтальной плоскости лежат два бруска, соединенные невесомой пружинкой жесткости k и длины в недеформированном состоянии l₀. На один из брусков начали действовать постоянной горизонтальной силой F, как показано на рис. Найти максимальное и минимальное расстояния между брусками при дальнейшем движении системы, если массы брусков:

а) одинаковы;

б) равны m₁ и m₂, а сила F приложена к бруску с массой m₂. 

Решение от преподавателя:

Решение:

Рассмотрим оба бруска и пружину как физическую систему. Центр масс системы движется с ускорением 

вправо. Давайте рассмотрим работу в системе центра масс. Поскольку эта система является неинерциальной (ускоренной относительно земли), мы должны применить псевдосилу m₁a влево на бруске m₁ и m₂a влево на бруске m₂

Когда центр масс покоится в этой системе отсчета, бруски движутся в противоположных направлениях и мгновенно останавливаются в какой-то момент. Удлинение пружины в этот момент будет максимальным или минимальным. Предположим, что брусок m₁ смещается на расстояние x₁ и брусок m₂ на расстояние x₂ от начальных положений.

Из уравнения энергии в рамках центра масс. 

Следовательно, максимальное расстояние между брусками равно: 

Очевидно, что минимальное расстояние соответствует нулевому удлинению и равно l₀

Пример 34:

Система состоит из двух одинаковых кубиков, каждый массы m, между которыми находится сжатая невесомая пружина жесткости k (рис.). Кубики связаны нитью, которую в некоторый момент пережигают. Найти:

а) при каких значениях Δl — начальном сжатии пружины — нижний кубик подскочит после пережигания нити;

б) на какую высоту h поднимется центр тяжести этой системы, если сжатие пружины в начальном положении Δl=7mg/k.

Решение от преподавателя:

Решение:

(a) Начальное сжатие пружины Δl должно быть таким, чтобы после перегорания нити верхний куб поднимался до высоты, создающей натяжение пружины, которое по меньшей мере равно весу нижнего куба.

На самом деле, пружина будет сначала увеличиваться из сжатого состояние до естественной длины, а затем получать удлиненный больше естественную длины.

Пусть l Максимальное удлинение при этих условиях. Тогда

kl=mg (1) 

Теперь, из закона сохранения энергии,

(Так как при максимальном удлинении пружины скорость верхнего куба становится равной нулю) Из (1) и (2), 

Поэтому приемлемое решение

(б) Пусть v - скорость верхнего куба в положении (скажем, в точке C), когда нижний блок отрывается от пола, тогда по закону сохранения энергии. 

В позиции С - скорость центра масс; 

Пусть центр масс системы (пружина + два куба) далее поднимается до Δy_C2. Из закона сохранения энергии, 

Но, до положения C, центр масс системы уже поднялась, 

Следовательно, чистое смещение центра масс системы, в верхнем направлении 

Пример 35:

Две одинаковые тележки движутся друг за другом по инерции (без трения) с одной и той же скоростью v₀. На задней тележке находится человек массы m. В некоторый момент человек прыгнул в переднюю тележку со скоростью  u относительно своей тележки. Имея в виду, что масса каждой тележки равна M, найти скорости, с которыми будут двигаться обе тележки после этого. 

Решение от преподавателя:

Решение:

Из закона сохранения импульса, для системы "задняя тележка с человеком"

Из сохранения импульса для системы (передний тележка + человек, прыгнувший с задней тележки) 

Поэтому,

Подставляя значение v_R из (1), получим

Пример 36:

На краю покоящейся тележки массы M стоят два человека, масса каждого из которых равна m. Пренебрегая трением, найти скорость тележки после того, как оба человека спрыгнут с одной и той же горизонтальной скоростью  v относительно тележки:

1) одновременно;

2) друг за другом. В каком случае скорость тележки будет больше и во сколько раз? 

Решение от преподавателя:

Решение:

1) Предположим v₁ скорость тележки после того, как оба человека спрыгнут одновременно. Для закрытой системы (два человека + тележка), из закона сохранения импульса, 

2) Пусть v′ - скорость тележки с человеком, когда один человек спрыгивает с тележки. Для замкнутой системы (тележка с одним человеком + другой человек) из закон сохранения импульса: 

Решая уравнения (2) и (3) получаем 

Из (1) и (4) следует,

Следовательно, v₂ > v₁ 

 

Пример 37:

Цепочка массы m=1,00кг и длины l=1,40м висит на нити, касаясь поверхности стола своим нижним концом. После пережигания нити цепочка упала на стол. Найти полный импульс, который она передала столу. 

Решение от преподавателя:

Решение:

Нижняя часть цепи находится в свободном падении, и имеет скорость 

все ее точки опустились на расстояние y. Длина цепи, которая приземляется на стол в течение разностного интервала времени dt после этого момента, равна vdt.

Для соприкасающегося элемента цепи на столе: 

Следовательно, сила, действующая на падающую цепь, равна λv² и направлена вверх. Поэтому из третьего закона, сила, оказываемая падающей цепью на стол в тот же самый момент времени, становится λv² и направлена вниз.

Так как длина цепи весит (λyg) и уже лежит на столе, общая сила на стол равна

2λyg + λyg = 3λyg 

или весу длины цепи 3y. 

Пример 38:

Через неподвижный блок перекинута веревка, на одном конце которой висит лестница с человеком, а на другом — уравновешивающий груз массы M. Человек массы mm совершил перемещение l′ относительно лестницы верх и остановился. Пренебрегая массой веревки, а также трением в оси блока, найти перемещение l центра инерции этой системы.

 

Решение от преподавателя:

Решение:

В рассматриваемой системе отсчета, закрепленном на оси шкива, расположен центр масс данной системы движения которого описывается радиус-вектором 

Пример 39:

Летевшая горизонтально пуля массы mm попала, застряв, в тело массы M, которое подвешено на двух одинаковых нитях длины l (рис.). В результате нити отклонились на угол θ. Считая m ≪ M, найти:

а) скорость пули перед попаданием в тело;

б) относительную долю первоначальной кинетической энергии пули, которая перешла в тепло.

Решение от преподавателя:

Решение:

Из закона сохранения импульса, для системы (пуля + тело) вдоль начального направления пули 

Пример 40:

На гладкой горизонтальной плоскости находится тело массы M (рис.) и на нем небольшая шайба массы m. Последней сообщили в горизонтальном направлении скорость v. На какую высоту (по сравнению с первоначальным уровнем) поднимется шайба после отрыва от тела M? Трения нет. 

Решение от преподавателя:

Решение:

Когда шайба отрывается от тела M, его скорость вправо (по оси х) равна скорости тела M, а скорость шайбы в направлении вверх (вдоль оси у) в этот момент равнаv_y′ 

Из закона сохранения импульса, вдоль оси x для системы (шайба + тело) 

Из закона сохранения энергии, для той же системы в поле гравитации:

Где h′ - высота точки отрыва от начального уровня. Так,

Кроме того, если h′′ - высота шайбы, от точки отрыва, То, 

Так,

Следовательно, общая высота, поднятая с исходного уровня 

Пример 41:

Небольшая шайба массы m без начальной скорости соскальзывает с гладкой горки высотой h и попадает на доску массы M, лежащую у основания горки на гладкой горизонтальной плоскости (рис.). Вследствие трения между шайбой и доской шайба тормозится и, начиная с некоторого момента, движется вместе с доской как единое целое.

1) Найти суммарную работу сил трения в этом процессе.

2) Можно ли утверждать, что полученный результат не зависит от системы отсчета? 

Решение от преподавателя:

Решение:

(a) Когда шайба скользит и доходит до доски, он имеет скорость, равную

Из-за трения между диском и доской шайба замедляется, и через некоторое время шайба перемещается вместе с доской со скоростью v′ (скажем). Из закона сохранения импульса для системы (шайба + доска) вдоль горизонтали вправо: 

Теперь из уравнения полной механической энергии системы: 

Отсюда следует, что

Где μ - приведенная масса.

(б) Мы смотрим на задачу из системы отсчета, в которой доска перемещается (вместе с диском на нем) вправо со скоростью uu. Тогда в этом системе отсчета скорость шайбы, когда он только попадает на доску, закон сложения скоростей,

Подобным же образом общая скорость доски и диска, когда они перемещаются вместе, равна 

Тогда, как и выше,

Мы видим, что Ā_fr не зависит от uu и на самом деле справедливо - μgh, как в (a). Таким образом, полученный результат не зависит от выбора системы отсчета.

Пример 42:

Частица массы 1,0 г, двигавшаяся со скоростью

v₁ = 3,0i − 2,0j,

испытала абсолютно неупругое столкновение с другой частицей, масса которой 2,0 г и скорость

v₂ = 4,0j − 6,0k.

Найти скорость образовавшейся частицы — вектор v и его модуль, — если проекции векторов v₁ и v₂ даны в системе СИ. 

Решение от преподавателя:

Решение:

Из закона сохранения импульса, для замкнутой системы "две сталкивающихся частицы" 

Пример 43:

Найти приращение кинетической энергии замкнутой системы из двух шариков с массами m₁ и m₂ при их абсолютно неупругом столкновении, если до столкновения скорости шариков были v₁ и v₂. 

Решение от преподавателя:

Решение:

Для идеально неупругого столкновения, в системе отсчета центра масс, конечная кинетическая энергия сталкивающейся системы (обеих шариков) обращается в нуль. Отсюда исходная кинетическая энергия системы в системе отсчета центра масс полностью превращается во внутреннюю энергию (Q) сформированного тела. Следовательно, 

Теперь из закона сохранения энергии 

в лабораторной системе тот же результат получается как 

Пример 44:

Частица массы m₁ испытала абсолютно упругое столкновение с покоившейся частицей массы m₂. Какую относительную часть кинетической энергии потеряла налетающая частица, если:

а) она отскочила под прямым углом к своему первоначальному направлению движения;

б) столкновение лобовое? 

 

Решение от преподавателя:

Решение:

(a) Пусть начальная и конечная скорости m₁ и m₂ равны соответственно u₁,u₂ и v,v₂.

Тогда из закона сохранения импульса по горизонтальному и вертикальному направлениям получаем: 

Возводя в кваларт (1) и (2), а затем складывая их,

Теперь, из сохранения кинетической энергии, 

Таким образом, доля кинетической энергии, уносимой частицей 1, 

(б) Когда происходит столкновение, 

Потерянная доля кинетической энергии,

Пример 45:

Частица 1 испытала абсолютно упругое столкновение с покоившейся частицей 2. Найти отношение их масс, если:

а) столкновение лобовое и частицы разлетелись в противоположных направлениях с одинаковыми скоростями;

б) частицы разлетелись симметрично по отношению к первоначальному направлению движения частицы 1 и угол между их направлениями разлета θ=60^∘. 

Решение от преподавателя:

Решение:

(а) Когда частицы разлетаются в противоположном направлении с равными скоростями (скажем, v), то из консерватора импульса, 

Из закона сохранения кинетической энергии, 

Из уравнения (1) и (2), 

(б) Когда они разлетаются симметрично относительно начального направления движения с углом расходимости θ=60

Из закона сохранения импульса, в горизонтальном и вертикальном направлении, 

Из закона сохранения кинетической энергии, 

Из (1) и (2), 

Из (2), (3) и (4) следует,

Пример 46:

Шар, двигавшийся поступательно, испытал упругое соударение с другим, покоившимся, шаром той же массы. При соударении угол между прямой, проходящей через центры шаров, и направлением первоначального движения налетающего шара оказался равным α=45^∘. Считая шары гладкими, найти долю η кинетической энергии налетающего шара, которая перешла в потенциальную энергию в момент наибольшей деформации. 

 

Решение от преподавателя:

Решение:

Если (v_1x,v_1y) - мгновенные составляющие скорости налетающего шара, а (v_2x,v_2y) - составляющие скорости ударенного шара в тот же момент, то, поскольку внешние импульсные силы (т.е. иные, чем взаимное взаимодействие шаров)

Имеем 

Импульсная сила взаимного взаимодействия удовлетворяет

(F находится вдоль оси x, поскольку шарики являются гладкими. Таким образом, Y-компонент импульса не переносится.) Так как потеря кинетической энергии сохраняется как энергия деформации D, имеем 

Мы видим, что D максимально, когда 

 

Пример 47:

Снаряд, летящий со скоростью v=500м/с, разрывается на три одинаковые осколка так, что кинетическая энергия системы увеличивается в η=1,5 раза. Какую максимальную скорость может иметь один из осколков? 

Решение от преподавателя:

Решение:

Из закона сохранения импульса снаряда непосредственно до и после ее разрыва 

Из закона сохранения энергии 

Где

скорость центра масс осколков. Очевидно, в системе центра масс импульс системы равен нулю, поэтому 

Используя (3) и (4) в (2), получим 

Если бы мы использовали 

то уравнение 5 содержат v3 вместо v2 и так далее. 

Если проблема симметрична, мы можем искать максимум любого. Очевидно, для каждого все будет одинаковым. Для v1 в действительности в уравнении. (5) 

Пример 48:

Частица 1, имевшая скорость v=10м/с, испытала лобовое столкновение с покоившейся частицей 2 той же массы. В результате столкновения кинетическая энергия системы уменьшилась на η=1,0. Найти модуль и направление скорости частицы 1 после столкновения. 

 

Решение от преподавателя:

Решение:

Так как столкновение происходит в прямом направлении, частица 1 будет продолжать движение по той же линии, что и до столкновения, но будет изменяться величина вектора ее скорости. Пусть он начинает двигаться со скоростью v1 и частица 2 с v2 после столкновения, а затем из закона сохранение импульса 

И из данного условия, 

Положительный знак дает скорость второй частицы, которая находится впереди. Отрицательный знак для v1. 

Пример 49:

Частица массы m1 испытала абсолютно упругое соударение с покоившейся частицей массы m2, причем m1>m2. Найти максимальный угол, на который может отклониться налетающая частица в результате соударения. 

Решение от преподавателя:

Решение:

Из закона сохранения импульса

Из закона сохранения энергии 

Это квадратное уравнение для p′1 имеет действительное решение в значениях p1 и cosθ1 только в том случае, если 

Это ясно подразумевает (поскольку имеет смысл только знак +), что 

Пример 50:

На гладкой горизонтальной плоскости лежат три одинаковые шайбы А, В и С (рис.). Шайбе А сообщили скорость  v, после чего она испытала абсолютно упругое соударение одновременно с шайбами В и С. Расстояние между центрами последних до соударения было в η раз больше диаметра каждой шайбы. Найти скорость шайбы А после соударения. При каком значении η шайба А после соударения отскочит назад; остановится; будет двигаться вперед? 

Решение от преподавателя:

Решение:

Из симметрии задачи скорость шайбы А будет направлена либо в начальном направлении, либо противоположном сразу после удара. Пусть скорость диска А после столкновения равна v′ и направлена вправо после точки столкновение. Из симметрии задачи также ясно, что диски В и С имеют равную скорость (скажем, v′′) в указанных направлениях. Из условия задачи следует, 

Для системы трех шайб, из закона сохранения импульса в направлении симметрии (вправо) 

Из определения коэффициент воставновления для шайб A и B (или C) получаем 

Из (2) и (3),

Следовательно, имеем, 

Пример 51:

Молекула испытала соударение с другой, покоившейся, молекулой той же массы. Показать, что угол между направлениями разлета молекул:

а) равен 90^∘, если соударение абсолютно упругое;

б) отличен от 90^∘, если соударение неупругое. 

Решение от преподавателя:

Решение:

(a) Пусть молекула движется со скоростью v1 после ударяется по другой неподвижной молекуле, после столкновения их скорости становятся v′1 и  v′2 соответственно. Поскольку масса каждого Молекула такая же, сохранение импульса и сохранение кинетической энергии для системы (обе молекулы), соответственно, дает: 

Из векторного сложения видно, что из полученных формул

(б) Из-за потери кинетической энергии при неупругом столкновении

поэтому,

и, следовательно, угол расходимости < 90^∘.

Пример 52:

Ракета выпускает непрерывную струю газа, имеющую скорость u относительно ракеты. Расход газа равен μ кг/с. Показать, что уравнение движения ракеты: 

где m — масса ракеты в данный момент, w — ее ускорение, F — внешняя сила. 

Решение от преподавателя:

Решение:

Предположим, что в момент времени t, ракета имеет массу m и скорость  v относительно системы отсчета. Теперь рассмотрим инерциальную систему отсчета, движущуюся со скоростью, которую ракета имеет в данный момент. В этой системе отсчета импульс, который получает система ракетно-эжектируемого газа в течение времени dt, равен 

Пример 53:

Найти закон изменения массы ракеты со временем, если ракета движется в отсутствие внешних сил с постоянным ускорением w, скорость истечения газа относительно ракеты постоянна и равна u, а ее масса в начальный момент равна m₀. 

Решение от преподавателя:

Решение:

В соответствии с вопросом  F (внешняя сила) = 0 

Интегрируя в пределах для m(t) 

Пример 54:

Космический корабль массы m₀ движется в отсутствие внешних сил с постоянной скоростью v₀. Для изменения направления движения включили реактивный двигатель, который стал выбрасывать струю газа с постоянной относительно корабля скоростью и, все время перпендикулярной к направлению движения корабля. В конце работы двигателя масса корабля стала равной m. На какой угол α изменилось направление движения корабля за время работы двигателя? 

 

Решение от преподавателя:

Решение:

Поскольку F=0, из уравнения динамики тела с переменной массой;

Пример 55:

Тележка с песком движется по горизонтальной плоскости под действием постоянной силы F, совпадающей по направлению с ее вектором скорости. При этом песок высыпается через отверстие в дне с постоянной скоростью μ кг/с. Найти ускорение и скорость тележки в момент t, если в момент t=0 тележка с песком имела массу m0m0 и ее скорость была равна нулю. Трением пренебречь. 

 

Решение от преподавателя:

Решение:

Имеем

Интегрируя

Так как u=0, то из уравнения переменной системы масс:

Пример 56:

Платформа массы m₀ начинает двигаться вправо под действием постоянной горизонтальной силы  F (рис.). Из неподвижного бункера на нее высыпается песок. Скорость погрузки постоянна и равна μ кг/с. Найти зависимость от времени скорости и ускорения платформы в процессе погрузки. Трение пренебрежимо мало. 

Решение от преподавателя:

Решение:

Пусть автомобиль движется в системе отсчета, к которой прикреплен бункер, и в любой момент времени, пусть его масса равна m и скорость v. Тогда из общего уравнения для переменной системы масс. 

Запишем уравнение для нашей системы,

Таким образом искомое ускорение, 

Пример 57:

Цепочка АВ длины l находится в гладкой горизонтальной трубке так, что часть ее длины h свободно свешивается, касаясь, своим концом В поверхности стола (рис.). В некоторый момент конец А цепочки отпустили. С какой скоростью выскочит из трубки этот конец цепочки? 

Решение от преподавателя:

Решение:

Пусть длина цепи внутри гладкой горизонтальной трубы в произвольный момент времени равна x. Из уравнения, 

Точно так же для свисающей части, 

[Поскольку длина цепи внутри трубки уменьшается со временем, ds=−dx.] 

Пример 58:

Шарик массы m бросили под углом α к горизонту с начальной скоростью v₀. Найти модуль вектора момента импульса шарика относительно точки бросания в зависимости от времени движения. Вычислить M в вершине траектории, если m=130г, α=45^∘ и v₀=25м/с. Сопротивлением воздуха пренебречь. 

 

Решение от преподавателя:

Решение:

Таким образом, момент импульса на максимальной высоте, т.е. при 

 

Пример 59:

Шайба А массы m, скользя по гладкой горизонтальной поверхности со скоростью v, испытала в точке О (рис.) абсолютно упругий удар с гладкой неподвижной стенкой. Угол между направлением движения шайбы и нормалью к стенке равен α. Найти:

а) точки, относительно которых момент импульса M шайбы остается постоянным в этом процессе;

б) модуль приращения, вектора момента импульса шайбы относительно точки O′ которая находится в плоскости движения шайбы на расстоянии l от точки O. 

Решение от преподавателя:

Решение:

(а) На шайбу действует гравитация, силу реакции горизонтальной поверхности и сила  R реакции стенки в момент удара. Первые две силы уравновешивают друг друга, оставляя только силу R. Это момент относительно любой точки линии, вдоль которой действует вектор  R или вдоль нормали к стенке, равен нулю, и, следовательно, угловой момент диска относительно любой из этих точек не меняется в данном процессе.

(б) В процессе столкновения со стеной положение шайбы одинаково и равно r_OO′. Очевидно, приращение в импульсе шайбы 

Здесь

и направлена нормально выходящим из плоскости фигуры

Таким образом 

Пример 60:

Небольшой шарик массы m, привязанный на нити длины l к потолку в точке O, движется по горизонтальной окружности с постоянной угловой скоростью ω. Относительно каких точек момент импульса M шарика остается постоянным? Найти модуль приращения вектора момента импульса шарика относительно точки O за половину оборота. 

 

Решение от преподавателя:

Решение:

(а) Шар во все моменты времени под действием сил T и mg движется вдоль горизонтальной окружности. Очевидно, что вертикальная составляющая T уравновешивает mg и поэтому суммарный момент этих двух в любой точке становится равным нулю. Горизонтальная компонента T, которая обеспечивает центростремительное ускорение шару, уже направлена к центру (C) горизонтальной окружности, и поэтому его момент вокруг точки C равен нулю во все моменты времени. Следовательно, момент силы, действующей на шар относительно точки С, равен нулю, и поэтому угловой момент шара сохраняется вокруг горизонтальной окружности. 

(б) Пусть α - угол, который образует нить с вертикалью. Теперь из уравнения динамики частиц: 

Пример 61:

Шарик массы m падает без начальной скорости с высоты h над поверхностью Земли. Найти модуль приращения вектора момента импульса шарика за время падения — относительно точки О системы отсчета, движущейся поступательно со скоростью V в горизонтальном направлении. В момент начала падения точка О совпадала с шариком. Сопротивление воздуха не учитывать. 

 

Решение от преподавателя:

Решение:

Во время свободного падения

контрольная точка O перемещается в горизонтальном направлении (скажем, вправо) на расстояние V_τ. В движущейся системе отсчета M(O)=0, поэтому 

 

Пример 62:

Частица движется по замкнутой траектории в центральном силовом поле, где ее потенциальная энергия U=kr², k — положительная постоянная, r — расстояние частицы до центра поля О. Найти массу частицы, если наименьшее расстояние ее до точки О равно r₁, а скорость на наибольшем расстоянии от этой точки — v₂.

Решение от преподавателя:

Решение:

Если r˙ - радиальная скорость частицы, то полная энергия частицы в любой момент времени равна 

Где второе слагаемое есть кинетическая энергия углового движения вокруг центра 0. Тогда экстремальные значения r определяются r˙=0 и решая полученное квадратное уравнение 

получаем

Отсюда видно, что

где r1 - минимальное расстояние от O, а r2 - максимальное расстояние. Тогда 

Примечание: формула. (1) может быть выведено из стандартного выражения для кинетической энергии и углового момента в полярных координатах: 

Пример 63:

Небольшой шарик подвесили к точке О на легкой нити длиной l. Затем шарик отвели в сторону так, что нить отклонилась на угол θ от вертикали, и сообщили ему скорость в горизонтальном направлении перпендикулярно к вертикальной плоскости, в которой расположена нить. Какую начальную скорость надо сообщить шарику, чтобы в процессе движения максимальный угол отклонения нити от вертикали оказался равным π/2? 

Решение от преподавателя:

Решение:

Качающаяся сфера испытывает две силы: гравитационную силу и натяжение нити. Теперь из условия, данного в задаче, видно, что момент этих сил вокруг вертикальной оси, проходящей через точку подвески N_z=0. Следовательно, угловой момент M_z сферы относительно данной оси (z) постоянен.

Таким образом, 

Где m - масса сферы, v - скорость ss в положении, когда нить образует угол π\2 с вертикалью. Механическая энергия также сохраняется, так как сфера под воздействием только одной другой силы, т.е. натяжение, не выполняет никакой работы, поскольку оно всегда перпендикулярно скорости.

Пример 64:

На гладкой горизонтальной плоскости движется небольшое тело массы m, привязанное к нерастяжимой нити, другой конец которой втягивают в отверстие О (рис.) с постоянной скоростью. Найти натяжение нити в зависимости от расстояния r тела до отверстия, если при r=r₀ угловая скорость нити была равна ω₀. 

Решение от преподавателя:

Решение:

Силы, действующие на массу m, показаны на рисунке. Так как N=mg, суммарный крутящий момент этих двух сил вокруг любой неподвижной точки должен быть равен нулю. Натяжение T, действующие на массу m, представляет собой центральную силу, которая всегда направлена к центру O. Следовательно, момент силы T также равен нулю относительно точки O, и поэтому момент импульса частицы m сохраняется около 0.

Пусть угловая скорость частицы равна ω, когда расстояние между отверстием и частицей mm равно r, а затем из закона сохранения импульса около точки 0: 

Теперь, исходя из второго закона Ньютона для m,

Отсюда искомое натяжение; 

Пример 65:

На массивный неподвижный блок радиуса R намотана легкая нерастяжимая нить, к свободному концу которой подвешено небольшое тело массы m. В момент t=0 систему предоставили самой себе, и она пришла в движение. Найти ее момент импульса относительно оси блока в зависимости от t. 

Решение от преподавателя:

Решение:

В данной системе вес тела m является единственной силой, момент которой действует относительно оси блока. Возьмем значение ω блока в произвольный момент времени в качестве положительного направления оси вращения (ось z)

Пример 66:

Однородный шар массы m и радиуса R начинает скатываться без скольжения по наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом. Найти зависимость от времени момента импульса шара относительно точки касания в начальный момент. Как изменится результат в случае абсолютно гладкой наклонной плоскости? 

Решение от преподавателя:

Решение:

Пусть точка О касания сферы в начальный момент (t=0). Силы, действующие на сферу, показаны на рисунке. У нас есть нормальная реакция

N_r=mgsinα,

и обе проходят по одной линии И сила трения проходит через точку О, поэтому момент вокруг точки 0 обращается в нуль. Следовательно, mgsinα является единственной силой, которая имеет действующий крутящийся момент вокруг точки O и задается выражением

|N|=mgRsin⁡α, выходящим из плоскости рисунка. 

Пример 67:

Шарик массы m, двигавшийся со скоростью v₀, испытал упругое лобовое соударение с одним из шариков покоившейся жесткой гантели, как показано на рис. Масса каждого шарика гантели равна m/2, расстояние между ними — l. Пренебрегая размерами шариков, найти собственный момент импульса M гантели после соударения, т. е. момент импульса в поступательно движущейся системе отсчета, связанной с центром инерции гантели.

Решение от преподавателя:

Решение:

Закон сохранение импульса вдоль направления падающего шара для системы состоит из сталкивающегося шара и сферы 1 гантели 

Где v′ и v₁ - скорости шара и сферы 1 соответственно после столкновения. Поскольку столкновение является совершенно эластичным, из определения коэффициента восстановления, 

Решая (1) и (2), получаем: