Задача о движении тела, брошенного под углом к горизонту

Условие:

Решение:

Задание относится к предмету "физика", раздел "кинематика". Необходимо решить задачу о движении тела, брошенного под углом к горизонту. Дано: - Начальная скорость \( v_0 = 10 \) м/с - Угол бросания \( \alpha = \pi/3 \) к горизонту **1. Определим уравнения движения камня \( x(t) \) и \( y(t) \):** Горизонтальная составляющая начальной скорости: \[ v_{0x} = v_0 \cos(\alpha) \] Вертикальная составляющая начальной скорости: \[ v_{0y} = v_0 \sin(\alpha) \] Горизонтальное движение: \[ x(t) = v_{0x} \cdot t \] \[ x(t) = v_0 \cos(\alpha) \cdot t \] \[ x(t) = 10 \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \cdot t \] \[ x(t) = 10 \cdot 0.5 \cdot t = 5t \] Вертикальное движение с учетом силы тяжести: \[ y(t) = v_{0y} \cdot t - \frac{1}{2} g t^2 \] \[ y(t) = v_0 \sin(\alpha) \cdot t - \frac{1}{2} g t^2 \] \[ y(t) = 10 \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \cdot t - \frac{1}{2} \cdot 9.8 \cdot t^2 \] \[ y(t) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot t - 4.9 t^2 \] \[ y(t) = 5\sqrt{3} t - 4.9 t^2 \] **2. Найдём уравнение траектории камня и начертим её в координатах \( x,y \):** Выразим время \( t \) из уравнения для \( x(t) \): \[ t = \frac{x}{5} \] Подставим в уравнение для \( y(t) \): \[ y = 5\sqrt{3} \left(\frac{x}{5}\right) - 4.9 \left(\frac{x}{5}\right)^2 \] \[ y = \sqrt{3} x - \frac{4.9}{25}x^2 \] \[ y = \sqrt{3} x - 0.196 x^2 \] Уравнение траектории: \[ y = \sqrt{3} x - 0.196 x^2 \] **3. Определим дальность полета камня и максимальную высоту подъема:** Дальность полета: для этого найдём время полета Когда камень достигнет земли, \( y = 0 \): \[ 0 = \sqrt{3} x - 0.196 x^2 \] \[ x(\sqrt{3} - 0.196 x) = 0 \] \[ x = 0 \text{ или } \sqrt{3} - 0.196 x = 0 \] \[ 0.196 x = \sqrt{3} \] \[ x = \frac{\sqrt{3}}{0.196} \] \[ x \approx 8.84 \text{ м}\] Максимальная высота подъема: требуется найти момент времени, когда вертикальная скорость будет равна нулю. \[ v_{0y} - g t_{\text{макс}} = 0 \] \[ 10\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) - 9.8 t_{\text{макс}} = 0 \] \[ 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9.8 t_{\text{макс}} \] \[ 5\sqrt{3} \approx 9.8 t_{\text{макс}} \] \[ t_{\text{макс}} \approx 0.88 \text{ с}\] Подставим это время в уравнение \( y(t) \) для высоты: \[ y_{\text{макс}} = 5\sqrt{3} \cdot 0.88 - 4.9 \cdot (0.88)^2 \] \[ y_{\text{макс}} \approx 7.6 - 3.8 \approx 3.8 \text{ м}\] **4. При каком условии дальность полета будет максимальной?** Дальность полета будет максимальной, если угол броска \( \alpha \) равен \( 45^\circ \) (\(\pi/4\) рад). **5. Определим нормальное и тангенциальное ускорение в верхней точке траектории:** В верхней точке вертикальная скорость равна нулю, поэтому останется только горизонтальная составляющая скорости. Нормальное ускорение в верхней точке только из-за силы тяжести: \[ a_n = g = 9.8 \text{ м/с}^2\] Тангенциальное ускорение нулевое, так как вертикальная скорость не меняется: \[ a_t = 0 \text{ м/с}^2 \] Решение завершено!