Задача на нахождение статической и динамической силы

Данное задание относится к предмету физики, раздел классической механики, раздел статической и динамической силы.

Дано:

1. Брусок тянут за нить с постоянной скоростью по горизонтальной плоскости.
2. Коэффициент трения между телом и плоскостью равен \( \mu \).
3. Нужно найти угол \( \alpha \), при котором сила натяжения нити будет наименьшей.

Решение:

1. Поскольку брусок движется с постоянной скоростью, это значит, что сила натяжения компенсирует силу трения и силу, направленную вверх на угол от наклона нити. Это указывает на равновесие сил.
2. Введем следующие обозначения:
   • \( T \) — сила натяжения нити.
   • \( N \) — сила нормального давления.
   • \( f \) — сила трения.
   • \( g \) — ускорение свободного падения.
   • \( \alpha \) — искомый угол.
3. Разложим силу натяжения \( T \) на две составляющие: горизонтальную (\( T \cos(\alpha) \)) и вертикальную (\( T \sin(\alpha) \)).
4. Горизонтальная составляющая \( T \cos(\alpha) \) компенсирует силу трения \( f \): \[ T \cos(\alpha) = f = \mu N \]
5. Силы в вертикальном направлении складываются, давая равенство нулю силы тяжести и вертикальной компоненты силы натяжения и нормальной силы: \[ N = mg - T \sin(\alpha) \]
6. Подставим выражение нормальной силы \( N \) в уравнение трения: \[ T \cos(\alpha) = \mu (mg - T \sin(\alpha)) \]
7. Раскроем скобки и соберем все слагаемые с \( T \) в одну сторону: \[ T \cos(\alpha) + \mu T \sin(\alpha) = \mu mg \] \[ T (\cos(\alpha) + \mu \sin(\alpha)) = \mu mg \] \[ T = \frac{\mu mg}{\cos(\alpha) + \mu \sin(\alpha)} \]
8. Чтобы минимизировать натяжение нити \( T \), нужно минимизировать знаменатель: \[ \cos(\alpha) + \mu \sin(\alpha) \]
9. Найдём производную функции и приравняем её к нулю, чтобы найти экстремум: \[ \frac{d}{d \alpha} (\cos(\alpha) + \mu \sin \] \[ (\alpha)) = -\sin(\alpha) + \mu \cos(\alpha) \] \[ -\sin(\alpha) + \mu \cos(\alpha) = 0 \] \[ \mu \cos(\alpha) = \sin(\alpha) \] \[ \tan(\alpha) = \mu \]
10. Следовательно, искомый угол \( \alpha \), при котором натяжение нити будет наименьшим, определяется следующим соотношением: \[ \alpha = \arctan(\mu) \]

Ответ: угол \( \alpha \) равен \( \arctan(\mu) \).