Вывод уравнения колебаний струны

Предмет: Физика
Раздел: Механика, Волновые процессы

Вывод уравнения колебаний струны начинается с анализа физических процессов, происходящих в струне. Рассмотрим струну, натянутую с силой натяжения (T), и выведем уравнение, описывающее ее колебания.

1. Исходные предположения

• Струна имеет однородное распределение массы с линейной плотностью (\mu) (масса на единицу длины).
• Рассматриваем малый участок струны длиной ([\Delta x]).
• Колебания струны происходят в плоскости (xy), где (y(x, t)) — отклонение точки струны от положения равновесия в момент времени (t).

2. Силы, действующие на элемент струны

На малый участок струны длиной ([\Delta x]) действуют силы натяжения (T) со стороны соседних участков. Эти силы имеют компоненты по оси (x) и (y). Рассмотрим их:

• Сила натяжения на левом конце участка: (T_1).
• Сила натяжения на правом конце участка: (T_2).

Поскольку струна отклоняется от положения равновесия, углы натяжения на концах участка будут различны. Пусть угол наклона струны к оси (x) на левом конце равен (\theta_1), а на правом — (\theta_2).

Компонента силы натяжения вдоль оси (y) на левом конце:
[ T_1 \sin \theta1 \approx T \frac{\partial y}{\partial x}\bigg|{x}. ]
Аналогично, на правом конце:
[ T_2 \sin \theta2 \approx T \frac{\partial y}{\partial x}\bigg|{x+\Delta x}. ]

3. Равнодействующая сила

Разность сил по оси (y) равна:
[ Fy = T \frac{\partial y}{\partial x}\bigg|{x+\Delta x} - T \frac{\partial y}{\partial x}\bigg|_{x}. ]
Разность можно записать через производную:
[ F_y = T \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} \Delta x. ]

4. Уравнение движения

По второму закону Ньютона, сила равна произведению массы на ускорение. Масса малого участка струны равна (\mu \Delta x), а ускорение — (\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}). Тогда:
[ \mu \Delta x \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = T \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} \Delta x. ]

Сокращая на (\Delta x) (при (\Delta x \to 0)), получаем:
[ \mu \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = T \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}. ]

5. Волновое уравнение

Приведем уравнение к стандартному виду:
[ \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = \frac{T}{\mu} \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}. ]

Обозначим скорость распространения волны как (v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}). Тогда уравнение принимает вид:
[ \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}. ]

Это и есть волновое уравнение для колебаний струны. Оно описывает, как отклонение (y(x, t)) распространяется вдоль струны с течением времени.

Итоговое уравнение:

[ \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} - v^2 \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} = 0. ]

Где:

• (y(x, t)) — отклонение струны,
• (v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}) — скорость волны в струне.