Вычислить работу силы

Предмет: Физика
Раздел: Механика — Работа силы в векторном поле (линейный интеграл)

Условие задачи:

Вычислить работу силы
\vec{F} = x\vec{i} + y\vec{j}
при перемещении материальной точки вдоль дуги эллипса
x = 2\cos t,
y = \sin t
от точки A(2, 0) до точки B(0, 1).

Решение:

Работа силы вдоль кривой вычисляется как криволинейный интеграл:

 A = \int\limits_C \vec{F} \cdot d\vec{r} 

Параметризация пути:

 \begin{cases} x(t) = 2\cos t \ y(t) = \sin t \end{cases} 

Найдем производные:

 \frac{dx}{dt} = -2\sin t, \quad \frac{dy}{dt} = \cos t 

Вектор перемещения:

 d\vec{r} = \frac{dx}{dt} \vec{i} + \frac{dy}{dt} \vec{j} = (-2\sin t)\vec{i} + (\cos t)\vec{j} 

Подставим \vec{F} = x\vec{i} + y\vec{j} = (2\cos t)\vec{i} + (\sin t)\vec{j}

Скалярное произведение:

 \vec{F} \cdot d\vec{r} = (2\cos t)(-2\sin t) + (\sin t)(\cos t) = -4\cos t \sin t + \sin t \cos t = -3\cos t \sin t 

Найдем пределы интегрирования:

Начальная точка A(2, 0) соответствует t = 0
Конечная точка B(0, 1) соответствует t = \frac{\pi}{2}

Теперь вычислим интеграл:

 A = \int_0^{\frac{\pi}{2}} -3\cos t \sin t \, dt 

Используем формулу:
\sin t \cos t = \frac{1}{2} \sin 2t

 A = -3 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos t \sin t \, dt = -3 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2} \sin 2t \, dt = -\frac{3}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2t \, dt 

Вычислим интеграл:

 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2t \, dt = \left[-\frac{1}{2}\cos 2t\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = -\frac{1}{2}(\cos \pi - \cos 0) = -\frac{1}{2}(-1 - 1) = 1 

 A = -\frac{3}{2} \cdot 1 = -\frac{3}{2} 

Ответ:

\boxed{-\dfrac{3}{2}}