Вычислить работу силового поля

Предмет: Физика

Раздел: Механика (работа силового поля)

Задание: Вычислить работу силового поля

Поле задано векторной функцией \mathbf{F} = (x + 2y)\mathbf{i} - y^2\mathbf{j}. Необходимо вычислить работу силы \mathbf{F} при перемещении точки из A(1, 2) в B(3, 6).

Работа силы \mathbf{F} по перемещению точки вдоль пути вычисляется как:

 W = \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}, 

где d\mathbf{r} = dx \, \mathbf{i} + dy \, \mathbf{j} — элементарный вектор перемещения.

Шаг 1: Расписываем скалярное произведение

Подставляем выражение для \mathbf{F} и d\mathbf{r}:

 \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = (x + 2y)dx - y^2dy. 

Работа становится:

 W = \int_C (x + 2y)dx - \int_C y^2dy. 

Шаг 2: Параметризация пути

Путь соединяет точки A(1, 2) и B(3, 6). Уравнение прямой, проходящей через эти точки, задается как:

 \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{4} = t, \quad t \in [0, 1]. 

Отсюда выражаем x и y через параметр t:

 x = 1 + 2t, \quad y = 2 + 4t. 

Дифференцируем:

 dx = 2dt, \quad dy = 4dt. 

Шаг 3: Подстановка параметризации

Подставляем x, y, dx, и dy в выражение для работы:

 W = \int_0^1 \big[(1 + 2t) + 2(2 + 4t)\big] \cdot 2dt - \int_0^1 (2 + 4t)^2 \cdot 4dt. 

Упрощаем:

1. Первый интеграл:  \int_0^1 \big[(1 + 2t) + 4 + 8t\big] \cdot 2dt = \int_0^1 (10 + 20t)dt = 2 \int_0^1 (5 + 10t)dt. 

2. Второй интеграл:  \int_0^1 (2 + 4t)^2 \cdot 4dt = 4 \int_0^1 (4 + 16t + 16t^2)dt. 

Шаг 4: Вычисление интегралов

1. Первый интеграл:  2 \int_0^1 (5 + 10t)dt = 2 \left[5t + 5t^2 \right]_0^1 = 2 \cdot (5 + 5) = 20. 

2. Второй интеграл:  4 \int_0^1 (4 + 16t + 16t^2)dt = 4 \left[4t + 8t^2 + \frac{16t^3}{3} \right]_0^1 = 4 \cdot \left(4 + 8 + \frac{16}{3}\right) = 4 \cdot \frac{60}{3} = 80. 

Шаг 5: Итоговая работа

Собираем результат:

 W = 20 - 80 = -60. 

Ответ:

Работа силы \mathbf{F} при перемещении из точки A(1, 2) в точку B(3, 6) равна:

 W = -60.