Вычислить момент сил M в момент времени

Предмет: Физика

Раздел: Динамика вращательного движения

Данное задание касается динамики вращательного движения. Нам нужно вычислить момент сил \(M\) в момент времени \(t = 2 \, \text{с}\). Для этого будем исходить из уравнения вращательного движения указанного шара. А также будем использовать известную формулу Ньютона для вращательного движения \( M = I \cdot \varepsilon \), где:

• \( M \) — это момент сил,
• \( I \) — момент инерции тела (в данном случае шара),
• \( \varepsilon \) — угловое ускорение.

Уравнение вращения

Задается уравнение угла поворота тела:

\[ \phi(t) = A + B t^2 + C t^3, \]

где \( B = 4 \, \text{рад/с}^2 \), \( C = 1 \, \text{рад/с}^3 \).

Таким образом, функция угла зависит от времени, и нам нужно найти угловое ускорение \( \varepsilon \) этой системы.

Шаг 1: Найдем угловое ускорение \( \varepsilon \)

Угловое ускорение \( \varepsilon \) — это вторая производная углового смещения \( \phi \) по времени.

1. Найдем первую производную \( \omega \) (угловую скорость):

   \[ \omega(t) = \frac{d\phi(t)}{dt} = 2Bt + 3Ct^2. \]

   Подставим значения \( B = 4 \, \text{рад/с}^2 \) и \( C = 1 \, \text{рад/с}^3 \):

   \[ \omega(t) = 2(4)t + 3(1)t^2 = 8t + 3t^2. \]

2. Найдем вторую производную \( \varepsilon \) (угловое ускорение):

   \[ \varepsilon(t) = \frac{d\omega(t)}{dt} = \frac{d(8t + 3t^2)}{dt} = 8 + 6t. \]

   Теперь подставим \( t = 2 \, \text{с} \):

   \[ \varepsilon(2) = 8 + 6 \cdot 2 = 8 + 12 = 20 \, \text{рад/с}^2. \]

Шаг 2: Найдем момент инерции шара

Для однородного шара момент инерции относительно оси, проходящей через его центр, определяется формулой:

\[ I = \frac{2}{5} m r^2, \]

где:

• \( m = 10 \, \text{кг} \) — масса шара,
• \( r = 0.2 \, \text{м} \) — радиус шара.

Подставим значения:

\[ I = \frac{2}{5} \cdot 10 \cdot (0.2)^2 = \frac{2}{5} \cdot 10 \cdot 0.04 = \frac{2 \cdot 10 \cdot 0.04}{5} = 0.16 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2. \]

Шаг 3: Найдем момент силы \( M \)

Теперь, используя уравнение \( M = I \cdot \varepsilon \), подставим рассчитанные значения углового ускорения \( \varepsilon(2) = 20 \, \text{рад/с}^2 \) и момента инерции \( I = 0.16 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 \):

\[ M = 0.16 \cdot 20 = 3.2 \, \text{Н} \cdot \text{м}. \]

Ответ:

Момент сил в момент времени \( t = 2 \, \text{с} \) равен \( M = 3.2 \, \text{Н} \cdot \text{м} \).