Вычислить момент инерции системы относительно оси, которая перпендикулярна стержню и проходит через точку О, находящуюся на оси стержня

Предмет: Физика

Раздел: Механика, Момент инерции.

Условие:

Необходимо вычислить момент инерции системы относительно оси, которая перпендикулярна стержню и проходит через точку \(О\), находящуюся на оси стержня.

Дано:

• Масса шариков: \(m\) и \(2m\), где \(m = 0.1 \, \text{кг}\).
• Масса стержня: \(2m\).
• Длина стержня: \(l = 1 \, \text{м}\).

Шаг 1: Определим момент инерции отдельных составных частей системы

Для вычисления момента инерции в данном случае воспользуемся теорией о моменте инерции составных тел. Общий момент инерции системы будет равен сумме моментов инерции для каждого элемента системы. Момент инерции \(I\) вычисляется по формуле:

\[ I = \sum m_i r_i^2 \]

где \(m_i\) — масса, \(r_i\) — расстояние от оси вращения до точки, где находится масса.

1.1. Момент инерции стержня

Масса стержня \(2m\), его длина \(l = 1 \, \text{м}\). Ось вращения находится в точке \(O\), которая делит стержень пополам. Для стержня, вращающегося относительно центральной оси, его момент инерции равен:

\[ I_{\text{стержня}} = \frac{1}{12} M l^2 \]

где \(M\) — масса стержня, \(l\) — его длина. Подставляем значения:

\[ I_{\text{стержня}} = \frac{1}{12} \cdot 2m \cdot l^2 = \frac{1}{12} \cdot 2 \cdot 0.1 \cdot 1^2 = \frac{1}{12} \cdot 0.2 = 0.0167 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 \]

1.2. Момент инерции маленького шарика массой \(m\)

Этот шарик находится на расстоянии \(\frac{l}{2} = 0.5 \, \text{м}\) от точки \(O\). Момент инерции для этой массы будет равен:

\[ I_1 = m r^2 = m \left( \frac{l}{2} \right)^2 = 0.1 \cdot 0.5^2 = 0.1 \cdot 0.25 = 0.025 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 \]

1.3. Момент инерции шарика массой \(2m\)

Шарик массой \(2m\) находится на расстоянии \(\frac{l}{2} = 0.5 \, \text{м}\) от точки \(O\). Момент инерции для этого шарика:

\[ I_2 = 2m r^2 = 2m \left( \frac{l}{2} \right)^2 = 2 \cdot 0.1 \cdot 0.5^2 = 0.2 \cdot 0.25 = 0.05 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 \]

Шаг 2: Сумма моментов инерции

Общий момент инерции всей системы будет суммой моментов инерции всех частей:

\[ I = I_{\text{стержня}} + I_1 + I_2 \]

\[ I = 0.0167 + 0.025 + 0.05 = 0.0917 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 \]

Ответ:

Момент инерции системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через точку \(\mathrm{O}\), равен \(\mathrm{0.0917 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2}\).