Всемирное тяготение

Пример 1:

Некоторая планета массы M движется по окружности вокруг Солнца со скоростью v=34,9км/с (относительно гелиоцентрической системы отсчета). Найти период обращения этой планеты вокруг Солнца. 

Решение от преподавателя:

Решение:

Имеем

таким образом

Так что

(Здесь ms - масса Солнца.)

Итак 

 

Пример 2:

Частицу массы mm переместили из центра основания однородного полушара массы M и радиуса R на бесконечность. Какую работу совершила при этом гравитационная сила, действующая на частицу со стороны полушара?

Решение от преподавателя:

Решение:

Можно представить, что однородное полушарие состоит из тонких полусферических слоев радиусов от 0 до R. Рассмотрим такой слой (рис.). Потенциал в точке O, благодаря этому слою, 

(Это потому, что все точки каждой полусферической оболочки равноудалены от O.) Следовательно, 

Следовательно, работа, выполняемая силой гравитационного поля над частицой массы mm, чтобы удалить ее до бесконечности, дается формулой 

A=mϕ , так как ϕ=0 на бесконечности. 

Следовательно, искомая работа, 

Пример 3:

Период обращения Юпитера вокруг Солнца в 12 раз больше соответствующего периода для Земли. Считая орбиты планет круговыми, найти:

а) во сколько раз расстояние от Юпитера до Солнца превышает расстояние от Земли до Солнца;

б) скорость и ускорение Юпитера в гелиоцентрической системе отсчета. 

 

Решение от преподавателя:

Решение:

Для любой планеты 

Получаем,

(а) Таким образом,

Итак

(б) 

Получаем, 

Где T=12лет, ms= масса Солнца. Подставляем числовые значения, получаем 

Пример 4:

Во сколько раз уменьшится сила тяготения тела к Земле при удалении его от поверхности Земли на расстояние, равное радиусу Земли?

Решение от преподавателя:

Силу тяготения тела к Земле F_т1, когда тело находится на поверхности Земли, найдем из закона всемирного тяготения:

Здесь G – гравитационная постоянная, M – масса Земли, а m – масса рассматриваемого тела. Если тело удалить на расстояние h от поверхности Земли, то сила тяготения Fт2 измениться. Тогда:

Так как по условию h=R, то:

В конце концов осталось найти искомое отношение Fт1/Fт2:

Ответ: в 4 раза.

Пример 5:

Некоторая планета массы M движется вокруг Солнца по эллипсу так, что минимальное расстояние между ней и Солнцем равно r, а максимальное — R. Найти с помощью законов Кеплера период обращения ее вокруг Солнца. 

 

Решение от преподавателя:

Решение:

Половина главной оси равно (r+R)/2

Достаточно рассмотреть движение по кругу половины основной оси для T оно не зависит от эксцентриситета

Следовательно, 

 

 

Пример 6:

Два спутника Земли движутся в одной плоскости по круговым орбитам. Радиус орбиты одного спутника r = 7000км, радиус орбиты другого — на Δr = 70км меньше. Через какой промежуток времени спутники будут периодически сближаться на минимальное расстояние? 

Решение от преподавателя:

Решение:

Пусть

круговая частота спутника на внешней орбите, 

круговая частота спутника на внутренней орбите.

Таким образом, относительная угловая скорость =ω₀±ω где "-" когда спутники движутся в одном и том же направлении и знак "+", если они движутся в противоположном направлении. Следовательно, время между ближайшими приближениями 

Где δ=0 в первом случае и 2 во втором случае. 

Пример 7:

Небольшое тело начинает падать на Солнце с расстояния, равного радиусу земной орбиты. Начальная скорость тела в гелиоцентрической системе отсчета равна нулю. Найти с помощью законов Кеплера, сколько времени будет продолжаться падение.

 

Решение от преподавателя:

Решение:

Предположим, что тело движется по очень вытянутой орбите с максимальным расстоянием R и минимальным расстоянием 0, так что половина основной осм =R/2. Следовательно, если τ время падения, тогда 

Пример 8:

Определить силу взаимодействия тела массой 2 кг и Земли, если тело удалено от её поверхности на 4 земных радиуса.

Решение от преподавателя:

Силу взаимодействия тела, находящегося на некоторой высоте, с Землей найдем из закона всемирного тяготения:

Так как по условию h=4R, то:

Можно считать численный ответ по этой формуле, но это долго и многие совершают ошибки. Гораздо легче заметить, что:

Поэтому:

Посчитаем ответ:

Ответ: 0,8 Н.

Пример 9:

Двойная звезда — это система из двух звезд, движущихся под действием притяжения вокруг центра инерции системы. Найти расстояние между компонентами двойной звезды, если ее суммарная масса M и период обращения T.

Решение от преподавателя:

Решение:

Двойная звезда может быть заменена одной звездой массой 

движущийся вокруг центра масс под действием силы γm1m2/r2. Тогда 

Пример 10:

Вычислить отношение следующих ускорений: ускорения ω₁, вызываемого силой тяготения на поверхности Земли, ускорения ω₂, обусловленного центробежной силой инерции на экваторе Земли, и ускорения ω₃, сообщаемого телам на Земле Солнцем. 

Решение от преподавателя:

Решение:

Пример 11:

Планета массы mm движется по эллипсу вокруг Солнца так, что наибольшее и наименьшее расстояния ее от Солнца равны соответственно r₁ и r₂. Найти момент импульса M этой планеты относительно центра Солнца. 

Решение от преподавателя:

Решение:

Поскольку на планету действует центральная сила (гравитационное взаимодействие), ее угловой момент сохраняется относительно Солнца (который находится в одной из фокусов эллипса)

Итак,

Из закона сохранения механической энергии системы (Солнце + планета) 

Таким образом,

Следовательно,

Откуда

Пример 12:

Во сколько раз ускорение свободного падения около поверхности Земли больше ускорения свободного падения на высоте, равной трем радиусам Земли?

Решение от преподавателя:

Ускорение свободного падения около поверхности Земли легко найти по такой известной формуле:

В этой формуле G – гравитационная постоянная, M – масса Земли, а R – её радиус. Ускорение свободного падения на некоторой высоте h от поверхности Земли можно найти по следующей формуле:

По условию h=3R, поэтому:

Тогда искомое отношение ускорений свободного падения на разных высотах равно:

Ответ: в 16 раз.

Пример 13:

Планета А движется по эллиптической орбите вокруг Солнца. В момент, когда она находилась на расстоянии r₀ от Солнца, ее скорость равнялась v₀ и угол между радиус-вектором r₀ и вектором скорости v₀ составлял α. Найти наибольшее и наименьшее расстояния, на которые удаляется от Солнца эта планета при своем движении. 

Решение от преподавателя:

Решение:

Из закона сохранения углового момента вокруг Солнца. 

Из закона сохранения механической энергии, 

Пример 14:

На какой высоте над полюсом Земли ускорение свободного падения убывает на один процент; в два раза? 

Решение от преподавателя:

Решение:

Пусть h - искомая высота в первом случае, поэтому 

Из условия задачи видно, что в этом случае h ≪ R

Таким образом, 

В другом случае, если h′ искомая высота, тогда 

Из условия задачи, в случае h′  не очень мало по сравнению с  R. Поэтому в этом случае мы не можем использовать приближение, принятое в предыдущем случае. 

Знак "-" неприемлем

Пример 15:

Космическое тело А движется к Солнцу, имея вдали от него скорость v₀ и прицельный параметр l — плечо вектора v0 относительно центра Солнца (рис.). Найти наименьшее расстояние, на которое это тело приблизится к Солнцу. 

Решение от преподавателя:

Решение:

На минимальном расстоянии от Солнца скорость космического тела перпендикулярна вектору положения относительно Солнца. Если искомое минимальное расстояние rminrmin то из закона сохранения момента количества движения вокруг Солнца (С). 

Из закона сохранения механической энергии системы (солнце + космическое тело), 

Следовательно, положительный корень 

Пример 16:

Искусственный спутник Земли движется на высоте 12800 км. Найти скорость движения спутника.

Решение от преподавателя:

При движении спутника вокруг Земли по круговой орбите сила тяготения Fт сообщает ему центростремительное ускорение, поэтому второй закон Ньютона запишется в следующем виде:

Силу тяготения определяют по закону всемирного тяготения:

Если спутник движется с некоторой скоростью υ, то центростремительное ускорение равно:

Подставим выражения (2) и (3) в равенство (1), тогда:

Путем простых математических действий получим такое выражение для определения скорости спутника υ:

Можно считать ответ по этой формуле, но мы сделаем следующий трюк – дробь под корнем домножим и поделим на R² (это можно делать благодаря основному свойству дроби), тогда:

Заметим, то выражение равно ускорению свободного падения g вблизи поверхности Земли (g=10 м/с²). Значит:

Переведем высоту орбиты спутника в систему СИ:

Посчитаем численный ответ (напомним, что радиус Земли – это табличная величина, равная 6,4·10⁶ м):

Ответ: 4,62 км/с.

Пример 17:

Доказать, что сила тяготения, действующая на частицу А внутри однородного сферического слоя вещества, равна нулю. 

 

Решение от преподавателя:

Решение:

Пусть m - масса сферического слоя, предположим что он состоит из колец. В точке внутри сферического слоя на расстоянии r от центра, гравитационный потенциал, обусловленный кольцевым элементом радиуса a равен, 

Следовательно,

Следовательно, сила гравитационного поля обращается в нуль внутри тонкого сферического слоя. 

Пример 18:

Телу сообщили на полюсе Земли скорость v₀, направленную вертикально вверх. Зная радиус Земли и ускорение свободного падения на ее поверхности, найти высоту, на которую поднимется тело. Сопротивлением воздуха пренебречь. 

Решение от преподавателя:

Решение:

Пусть масса тела равна mm и пусть она поднимается до высоты h. Из закона сохранения механической энергии системы

Используя,

в приведенном выше уравнении и при решении получим 

Пример 19:

Каково ускорение свободного падения на поверхности Солнца, если радиус Солнца в 108 раз больше радиуса Земли, а плотность в 4 раза меньше плотности Земли? (g=9,8 м/с²)

Решение от преподавателя:

Давайте узнаем как зависит ускорение свободного падения на поверхности некоторой планеты от её средней плотности и радиуса, для этого запишем формулу его определения:

Массу планеты можно найти из её средней плотности ρ и объема V:

Планеты обычно имеют форму, близкую к шарообразной, поэтому объем VV можно посчитать по следующей формуле:

Подставим выражения (2) и (3) в формулу (1), тогда:

Видно, что ускорение свободного падения вблизи поверхности некоторой планеты зависит линейно от средней плотности и радиуса планеты. Учитывая это, ускорения свободного падения на Земли и на Солнце можно определить по следующим формулам:

Разделим верхнее равенство на нижнее:

Поэтому:

Так как в условии сказано, что

то:

Осталось посчитать численный ответ:

Ответ: 264,6 м/с².

Пример 20:

Искусственный спутник вывели на круговую орбиту вокруг Земли со скоростью v — относительно поступательно движущейся системы отсчета, связанной с осью вращения Земли. Найти расстояние от спутника до поверхности Земли. Радиус Земли и ускорение свободного падения на ее поверхности считать известными. 

Решение от преподавателя:

Решение:

Гравитационная сила обеспечивает необходимое центростремительное ускорение спутника. Таким образом, если h - искомое расстояние, то имеем 

Пример 21:

На какое расстояние от поверхности Земли нужно удалить тело, чтобы сила тяготения уменьшилась в 100 раз?

Решение от преподавателя:

Из закона всемирного тяготения следует, что сила тяготения вблизи поверхности Земли равна:

В этой формуле GG – гравитационная постоянная, MM – масса Земли, RR – радиус Земли, а mm – масса некоторого тела. Из того же закона всемирного тяготения следует, что силу тяготения на некоторой высоте hh можно определить по формуле:

По условию 

поэтому поделив правые части формул (1) и (2) друг на друга, получим:

Радиус Земли R можно узнать, посмотрев таблицы в конце любого сборника по физике – он равен 6,4·10⁶ м. Численно ответ равен:

Ответ: 57600 км.

Пример 22:

Вычислить радиус круговой орбиты стационарного спутника Земли, который остается неподвижным относительно ее поверхности. Каковы его скорость и ускорение в инерциальной системе отсчета, связанной в данный момент с центром Земли? 

Решение от преподавателя:

Решение:

Спутник, который нависает над земным экватором и вращается с ним, двигаясь с запада на восток с суточной угловой скоростью Земли, остается неподвижным для наблюдателя на Земле. Он называется геостационарным. Для этого расчета можно пренебречь годовым движением Земли, а также всеми другими влияниями. Тогда, по закону Ньютона, 

Где M = масса Земли, T = 86400 секунд = период суточного вращения Земли и r = расстояние спутника от центра Земли. Тогда 

Подставим

получаем

Мгновенная скорость относительно инерциальной системы отсчета, привязанной к центру Земли в этот момент, будет равна 

И ускорение будет центростремительным. 

 

Пример 23:

Определить первую космическую скорость для планеты, масса и радиус которой в два раза больше, чем у Земли.

Решение от преподавателя:

Первая космическая скорость – это скорость, которую нужно сообщить телу, чтобы оно стало спутником некоторой планеты. Её можно найти из следующих соображений. При движении спутника по круговой орбите сила тяготения сообщает ему центростремительное ускорение, поэтому второй закон Ньютона даст такое равенство:

Силу тяготения найдем из закона всемирного тяготения, учитывая, что высота орбита мала, т.е. она является околоземной:

Центростремительное ускорение спутника, движущегося со скоростью υ₁, равно:

В равенство (1) подставим выражения (2) и (3):

Значит первую космическую скорость можно определять по такой формуле:

По условию R=2R₃ и M=2M_з, поэтому:

В принципе после получения этой формулы можно было сказать, что первая космическая скорость на данной планете такая же, как и у Земли. Но мы “добьём” задачу до конца. Домножим и поделим дробь под корнем на R₃, тогда:

Выражение равно ускорению свободного падения gg вблизи поверхности Земли, в итоге имеем:

Напомним, что радиус Земли равен 6,4·10⁶ м, поэтому численный ответ равен:

Ответ: 8000 м/с.

Пример 24:

Спутник, движущийся по круговой орбите радиуса R=2,00⋅10⁴км в экваториальной плоскости Земли с Запада на Восток, появляется над некоторым пунктом на экваторе через каждые τ=11,6ч. Вычислить на основании этих данных массу Земли. Гравитационная постоянная предполагается известной. 

Решение от преподавателя:

Решение:

Спутник, движущийся с запада на восток на расстоянии R=2,00⋅10⁴кмот центра Земли, будет вращаться вокруг Земли с угловой скоростью быстрее, чем суточная горизонтальная скорость Земли. Пусть ω= угловая скорость спутника 

Так как относительная угловая скорость относительно земли. Тогда по закону Ньютона 

Подставляя значения,

Пример 25:

На некоторой планете сила тяжести, действующая на тело массой 4 кг, равна 8 Н. Найти по этим данным ускорение свободного падения на планете.

Решение от преподавателя:

Перед нами элементарнейшая задача на понимание того, как определяется сила тяжести. Если тело находится на поверхности планеты, то её можно найти по такой формуле:

Тогда ускорение свободного падения на этой планете можно найти по такой формуле:

Посчитаем ответ:

Ответ: 2 м/с².

Пример 26:

Спутник движется в экваториальной плоскости Земли с Востока на Запад по круговой орбите радиуса R=1,00⋅10⁴км. Найти в системе отсчета, связанной с Землей, его скорость и ускорение. 

 

Решение от преподавателя:

Решение:

Скорость спутника в инерциальной неподвижной системе отсчета 

с востока на запад. В системе отсчета неподвижной относительно Земли, из 

скорость.

Здесь M - масса Земли, T - ее период вращения вокруг собственной оси. Если бы спутник двигался с запада на восток. 

Если бы спутник двигался с запада на восток. 

Чтобы найти ускорение, заметим, что формула 

 

 

Пример 27:

На сферической планете вес тела на полюсе в 3 раза больше веса тела на экваторе. Определите период вращения этой планеты, если её средняя плотность 2300 кг/м³.

Решение от преподавателя:

Начнем с того, что вес тела равен силе реакции опоры согласно третьему закону Ньютона. Заметим, что эти силы равны по величине, противоположны по направлению и приложены к разным телам.

Тело, находящееся на экваторе, вращается вместе с планетой, описывая окружность радиуса R (радиус планеты). Второй закон Ньютона для этого тела запишется в следующем виде:

Тело на полюсе вращается вокруг своей оси, поскольку ось планеты проходит через центр масс этого тела. Так как при вращении планеты оно будет описывать окружность нулевого радиуса, значит на него не действует центростремительное ускорение. Первый закон Ньютона для этого тела будет записан в таком виде:

Получим такую систему:

Учитывая (1), имеем:

Так как по условию то поделив нижнее равенство системы на верхнее, получим:

Выразим ускорение свободного падения g на поверхности планеты через её среднюю плотность ρ. Для этого запишем формулу его определения:

Массу планеты найдем как произведение плотности на объем, а объем выразим через радиус, поскольку планета является сферической.

Тогда:

Теперь выразим центростремительное ускорение aцaц через период вращения. Для этого запишем формулу определения центростремительного ускорения через угловую скорость вращения и формулу связи угловой скорости вращения с периодом обращения планеты:

Значит:

Подставим выражения (3) и (4) в равенство (2):

Выразим из полученного равенство период T, получим решение задачи в общем виде:

Считаем ответ:

Ответ: 160 мин.

Пример 28:

Спутник должен двигаться в экваториальной плоскости Земли вблизи ее поверхности по или против направления вращения Земли. Найти в системе отсчета, связанной с Землей, во сколько раз кинетическая энергия спутника во втором случае будет больше, чем в первом. 

 

Решение от преподавателя:

Решение:

Из хорошо известной взаимосвязи скоростей частицы в отношении неподвижной системы отсчета (K) вращающийся системы отсчета (K′) 

Таким образом, кинетическая энергия спутника в системе отсчета Земли

Очевидно, что когда спутник движется в противоположном направлении по отношению к вращению Земли, его скорость относительно той же системы будет

И кинетическая энергия 

Из второго закона Ньютона 

Пример 29:

Сколько метров пройдет тело, свободно падая без начальной скорости в течение трех секунд у поверхности планеты, радиус которой меньше земного на одну треть, а средняя плотность планеты на 10% меньше, чем плотность Земли?

Решение от преподавателя:

Сначала разберемся как ускорение свободного падения вблизи поверхности некоторой планеты зависит от средней плотности планеты и её радиуса. Для этого запишем всем известную формулу определения:

Определить массу планеты, зная её плотность ρ и объем V, возможно по следующей формуле:

Объем сферической планеты определим по формуле:

Подставим (3) в (2), а полученное в результате – в формулу (1). Тогда:

Тогда ускорения свободного падения на рассматриваемой планете g₁ и на Земле gзgз можно определить из формул:

Поделим нижнее равенство на верхнее, тогда получим:

Поскольку в условии дано, что , то:

При движении без начальной скорости в поле силы тяжести тело пройдет за время t расстояние H, определяемое по формуле:

Учитывая (4), имеем:

Посчитаем ответ:

Ответ: 27 м.

Пример 30:

Искусственный спутник Луны движется по круговой орбите, радиус которой в η раз больше радиуса Луны. При своем движении спутник испытывает слабое сопротивление со стороны космической пыли. Считая, что сила сопротивления зависит от скорости спутника по закону F=αv², где α — постоянная, найти время движения спутника до падения на поверхность Луны. 

Решение от преподавателя:

Решение:

Для спутника по круговой орбите вокруг любого массивного тела существует следующее соотношение между кинетической, потенциальной и полной энергией: 

Таким образом, поскольку полная механическая энергия должна уменьшаться из-за сопротивления космической пыли, кинетическая энергия будет возрастать, а спутник будет «падающим». Мы видим, что энергия 

Из закона Ньютона на расстоянии радиуса r от центра Луны. 

(M - масса Луны). Тогда 

Где R = радиус Луны. Итак 

Где g - постоянная гравитационная Луны. Усреднение, выраженное уравнением (1) (для некруговых орбит) результат усреднения.

Пример 31:

Чему равно ускорение свободного падения на высоте, равной половине радиуса Земли? (g=9,8 м/с²)

Решение от преподавателя:

Ускорение свободного падения g₁ на высоте h от поверхности Земли можно определить по формуле:

Домножим и поделим дробь на R², получим:

Выражение равно ускорению свободного падения g_з на поверхности Земли.

По условию h=0,5R, поэтому:

Численно искомое ускорение g₁ равно:

Ответ: 4,36 м/с².

Пример 32:

Вычислить первую и вторую космические скорости для Луны. Сравнить полученные результаты с соответствующими скоростями для Земли. 

 

Решение от преподавателя:

Решение:

Из второго закона Ньютона 

От закона сохранения механической энергии 

В уравнении (1) и (2), M и R - масса Луны и ее радиус. В уравнении (1) если M и R представляют массу Земли и ее радиус, то, используя приложения, мы можем легко получить 

Пример 33:

Определить, с каким ускорением падают тела на поверхность Луны, зная, что радиус Луны в 3,8 раза меньше радиуса Земли, а её масса в 81 раз меньше массы Земли (g=9,8 м/с²).

Решение от преподавателя:

Ускорение свободного падения на поверхности Земли g_з можно определить по формуле:

Аналогично, ускорение свободного падения на Луне g_л равно:

По условию

поэтому:

Учитывая (1), имеем:

Посчитаем ответ:

Ответ: 1,75 м/с².

Пример 34:

Космический корабль подлетает к Луне по параболической траектории, почти касающейся поверхности Луны. В момент максимального сближения с Луной на короткое время был включен тормозной двигатель, и корабль перешел на круговую орбиту спутника Луны. Найти приращение модуля скорости корабля при торможении. 

 

Решение от преподавателя:

На параболической орбите, E=0. Итак,

Где M= масса Луны, R= ее радиус. (Это только скорость убегания). С другой стороны, на орбите 

таким образом,

Пример 35:

Человек на Земле прыгает на высоту 1 м. На какую высоту, совершив ту же работу, он подпрыгнет на Луне? Радиус Луны составляет 0,27 радиуса Земли, а её плотность равна 0,6 плотности Земли.

Решение от преподавателя:

Понятно, что на Земле человек при прыжке совершит работу, определяемую формулой (работа равна изменению потенциальной энергии тела):

Аналогично, работа человека при прыжке на Луне:

Поскольку работа человека одинакова в обоих случаях, то приравняв их, получим:

Так как в условии задачи даны радиус и средняя плотность Луны, то выразим ускорение свободного падения через эти величины. Для начала запишем формулу определения ускорения свободного падения на поверхности Луны:

Масса Луны равна произведению её средней плотности на объем, а объем Луны можно определить как объем шара:

Подставим выражения (3) и (4) в (2), тогда:

Проделав аналогичные действия для ускорения свободного падения на Земле, в итоге получим такую систему:

Поделим нижнее равенство на верхнее, тогда получим:

По условию 

поэтому:

Тогда формула (1) примет вид:

Посчитаем ответ:

Ответ: 6,17 м.

Пример 36:

На каком расстоянии от центра Луны находится точка, в которой напряженность результирующего поля тяготения Земли и Луны равна нулю? Считать, что масса Земли в η=81 раз больше массы Луны, а расстояние между центрами этих планет в n=60 раз больше радиуса Земли R.

 

Решение от преподавателя:

Решение:

Пусть r - искомое расстояние, тогда 

Пример 37:

Во сколько раз период обращения искусственного спутника, совершающего движение по круговой орбите на высоте, равной радиусу Земли, превышает период обращения спутника на околоземной орбите?

Решение от преподавателя:

Найдем период обращения T₂ спутника, движущегося по круговой орбите на высоте h=R. Понятно, что сила всемирного тяготения сообщает спутнику центростремительное ускорение aцaц, поэтому второй закон Ньютона запишется в следующем виде:

Сила тяготения определяется законом всемирного тяготения:

Чтобы в нашей формуле фигурировал период обращения, нужно выразить через него центростремительное ускорение a_ц2. Для этого запишем формулу определения ускорения a_ц2 через угловую скорость и формулу связи последней с периодом.

Тогда:

Подставим выражения (2) и (3) в равенство (1):

Проведем аналогию для спутника, движущегося по околоземной орбите. Понятно, что его период обращения будет равен:

Теперь подставим в формулу определения периода T₂ (в формулу (4)) условие h=R:

Искомое отношение равно:

Ответ: в 2,83 раза.

Пример 38:

Какую наименьшую работу надо совершить, чтобы доставить космический корабль массы m=2,0⋅10³кг с поверхности Земли на Луну? 

 

Решение от преподавателя:

Решение:

Между Землей и Луной потенциальная энергия космического корабля будет иметь максимум в точке, где притяжение Земли и Луны уравновешивают друг друга. Мы можем пренебречь вкладом любого космического тела, действющего на космический корабль, в этой точке. Тогда минимальная энергия, которая должна быть передана космическому кораблю для пересечения максимумы ( E - обозначение Земли) 

С этой энергией космический корабль будет пересекать максимум. И затем будет спускаться к Луне. Проблема заключается в минимальной энергии, необходимой для мягкой посадки. Это вынуждает использовать ракеты для торможения космического корабля, и поскольку кинетическая энергия газов, выбрасываемых из ракеты, всегда будет положительной, полная энергия, необходимая для мягкой посадки, больше, чем требуется для столкновения. Чтобы вычислить эту энергию, мы предполагаем, что ракеты используются достаточно близко к Луне, когда космический корабль не достиг конечной скорости 

Где M₀ - масса Луны, а R₀ - ее радиус. В целом dE=vdp и поскольку скорость выбрасываемых газов не меньше скорости ракеты, а передаваемый в выброшенные газы импульс должен быть равен импульсу космического корабля, энергия E выбрасываемого газа не меньше кинетической энергии космический корабль 

Добавляя второе, мы получаем минимальную работу, выполняемую выброшенными газами, чтобы обеспечить мягкую посадку. 

При подстановке получаем 1,3⋅10⁸кДж. 

Пример 39:

На экваторе некоторой планеты тела весят вдвое меньше, чем на полюсе. Плотность вещества планеты 3000 кг/м³. Определить период обращения планеты около собственной оси.

Решение от преподавателя:

Тело на экваторе вращается вместе с планетой по окружности радиуса R, поэтому второй закон Ньютона будет записан в следующем виде:

Тело на полюсе вращается вокруг себя, так как ось вращения планеты проходит через его центр масс. Первый закон Ньютона для этого тела выглядит так:

Сила реакции опоры равна весу тела по третьему закону Ньютона. Значит

Nэ=Pэ и Nп=Pп.

Записав в другом виде полученные ранее равенства, получим такую систему:

Поделим первое равенство на второе. Учитывая, что по условию , имеем:

Ускорение свободного падения g на поверхности планеты можно найти по формуле:

Масса планеты равна произведению её средней плотности на объем:

Объем сферической планеты определим по известной из математики формуле:

Тогда:

Центростремительное ускорение a_ц зависит от угловой скорости ω и радиуса R.

Угловая скорость ω связана с периодом T по такой формуле:

Значит:

Подставим выражения (2) и (3) в полученное ранее равенство (1):

Посчитаем ответ:

Ответ: 161,7 мин.

Пример 40:

Найти приближенно третью космическую скорость v₃, т. е. наименьшую скорость, которую необходимо сообщить телу относительно поверхности Земли, чтобы оно смогло покинуть Солнечную систему. Вращением Земли вокруг собственной оси пренебречь. 

Решение от преподавателя:

Решение:

Предположим сначала, что притяжением Земли можно пренебречь. Тогда минимальная скорость, которая должна быть передана телу, чтобы убежать от притяжения Солнца, равна, 

r = радиус земной орбиты, масса Ms = Солнца. 

В реальном случае вблизи Земли тяготение Солнца мало и не сильно изменяется на расстояниях, которые в несколько раз больше радиуса Земли. Рассматриваемая скорость v3 - это то, что преодолевает тягу Земли с достаточной скоростью, чтобы избежать притяжение Солнца. Таким образом 

Где R = радиус Земли, M_E = масса Земли.