Время падения отрывшегося предмета до его удара о землю

Предмет: Физика

Раздел: Механика, кинематика

Задача связана с кинематикой движения тел под действием силы тяжести. Опишем подробно и решим её шаг за шагом.

Данно:

1. Ускорение аэростата \( a_{\text{аэростат}} = 2 \, \text{м/с}^2 \) (ускорение вверх)
2. Время движения аэростата до момента падения предмета \( t_1 = 5 \, \text{с} \)
3. Ускорение свободного падения \( g = 9.8 \, \text{м/с}^2 \)
4. Начальная скорость \( v_0 = 0 \, \text{м/с} \) аэростата (он начинает подниматься с земли)

Найти: Время \( t_{\text{падения}} \) отрывшегося предмета до его удара о землю.

Решение:

1. Сначала найдем скорость аэростата в момент, когда из него выпал предмет.

Аэростат ускоряется от 0 \, \text{м/с} с постоянным ускорением 2 \, \text{м/с}^2 в течение 5 \, \text{с}. Скорость по формуле равномерно ускоренного движения:

\[ v_{\text{аэростата}} = v_0 + a_{\text{аэростат}} t_1 = 0 + 2 \cdot 5 = 10 \, \text{м/с} \]

Значит, в момент, когда предмет выпал, он имел вертикальную скорость 10 \, \text{м/с} вверх.

2. Найдем высоту, на которой предмет выпал.

Движение аэростата происходит равномерно ускоренное, поэтому высота поднимающегося аэростата через 5 \, \text{с} определяется по формуле:

\[ h = v_0 t_1 + \frac{1}{2} a_{\text{аэростат}} t_1^2 = 0 \cdot 5 + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 5^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 25 = 25 \, \text{м} \]

Высота \( h \), с которой выпал предмет, равна 25 \, \text{м}.

3. Приступим к рассмотрению движения предмета.

После того как предмет выпал, на него начинает действовать только сила тяжести, которая ускоряет его вниз. Теперь решаем как стандартную задачу на вертикальное движение тела, брошенного вверх с начальной скоростью. Начальная скорость предмета \( v_0 = 10 \, \text{м/с} \) направлена вверх, а ускорение \( g = 9.8 \, \text{м/с}^2 \) направлено вниз. Для решения воспользуемся уравнением движения тела в гравитационном поле:

\[ h_{\text{общ}} = v_0 t + \frac{1}{2} (-g) t^2 \]

Где \( h_{\text{общ}} = -25 \, \text{м} \) (отрицательная высота, так как тело падает на землю). Включим минус для обозначения направления вниз относительно начальной точки отсчета.

Итак, у нас уравнение:

\[ -25 = 10 t - \frac{1}{2} \cdot 9.8 t^2 \]

Раскроем скобки:

\[ -25 = 10 t - 4.9 t^2 \]

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

\[ 4.9 t^2 - 10 t - 25 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение по известной формуле:

\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Для нашего уравнения \( a = 4.9 \), \( b = -10 \), и \( c = -25 \):

\[ t = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 4.9 \cdot (-25)}}{2 \cdot 4.9} \]

Вычислим дискриминант:

\[ t = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 490}}{9.8} = \frac{10 \pm \sqrt{590}}{9.8} \]

\[ \sqrt{590} \approx 24.3 \]

Теперь продолжим:

\[ t = \frac{10 \pm 24.3}{9.8} \]

1. \( t_1 = \frac{10 + 24.3}{9.8} \approx \frac{34.3}{9.8} \approx 3.5 \, \text{с} \) (это положительное решение)
2. \( t_2 = \frac{10 - 24.3}{9.8} \approx \frac{-14.3}{9.8} \) (это решение не подходит, так как время не может быть отрицательным)

Ответ:

Предмет упадёт на землю через 3.5 секунды после того, как выпал из аэростата.