Упругие деформации твердого тела

Пример 1:

Медный стержень длины l подвесили за один конец к потолку.

Найти:

а) удлинение стержня Δl под действием его собственного веса;

б) относительное приращение его объема ΔV/V.

Решение от преподавателя:

Решение:

(a) Поскольку свободный конец имеет нулевое напряжение, таким образом, напряжение стержня на расстоянии y от его нижнего конца 

Пусть ∂l - удлинение элемента длины dy, тогда

Таким образом, искомое удлинение И

(б) Если продольная (растягивающая) деформация равна 

сопутствующая боковая (сжимающая) деформация дается выражением

Тогда, поскольку 

имеем

Где Δl/l дано в части (а), μ - коэффициент Пуассона для меди. 

Пример 2:

Какое давление необходимо приложить к торцам стального цилиндра, чтобы длина его не изменилась при повышении температуры на 100^∘С? 

 

Решение от преподавателя:

Решение:

Изменение длины с температурой задается формулой 

Но

Таким образом, 

являющееся искомым напряжением давления. Подставляя значения α и E из принимая Δt=100^∘C, получаем 

Пример 3:

Брусок из материала с модулем Юнга E и коэффициентом Пуассона μ, подвергли всестороннему сжатию давлением pp. Найти:

а) относительное уменьшение его объема;

б) связь между коэффициентом сжимаемости β и упругими постоянными E и μ.

Показать, что коэффициент Пуассона ц не может превышать 1/2. 

Решение от преподавателя:

Решение:

Рассмотрим длину бруска до наложения давления. Давление действует на каждую грань. Давление на противоположных поверхностях представляет собой растягивающее напряжение, создающее продольное сжатие и боковое растяжение. Сжимающая сила p/E, а боковое расширение μ(p/E) Конечным результатом является сжатие 

на каждой стороне.

Следовательно,

(б) Рассмотрим куб при равномерном сжимающем напряжении σσ, действующем на всех его гранях. Тогда, объемная деформация равна

Где k - объемный модуль упругости. 

 

Пример 4:

Какое давление изнутри (при отсутствии наружного давления) может выдержать:

а) стеклянная трубка;

б) стеклянная сферическая колба, у которых радиус r=25мм и толщина стенок Δr=1,0мм? 

 

Решение от преподавателя:

Решение:

(a) Рассмотрим поперечный разрез трубы и сконцентрируйтесь на элементе, который из центра составляет угол Δϕ. Силы, действующие на часть длины Δl на элементе, равны (1) растягивающие силы боковые стороны величиной σΔrΔl. В результате 

Радиально к центру. (2) Сила, обусловленная давлением жидкости =prΔϕΔl С учетом этого баланса получаем 

где σ_m - максимальная сила растяжения. Подставляя значения, мы получаем p_max=19,7aтм. 

(б) Рассмотрим элемент области 

относительно z-оси, выбранный произвольно. Вокруг кольца колпачка имеются тангенциальные растягивающие силы. 

Следовательно, в пределе 

Пример 5:

Стальная балка прямоугольного сечения вмонтирована одним концом в стену (рис.). Под действием силы тяжести она испытывает некоторый небольшой изгиб. Найти радиус кривизны нейтрального слоя (см. пунктир на рисунке) вблизи точки О, если длина выступающего конца балки l=6,0м и ее толщина h=10см. 

Решение от преподавателя:

Решение:

Балка, зажата одним концом и поддерживающая приложенную нагрузку на свободном конце, называется кантилевером. Теория кантилеверов обсуждается в расширенном учебнике по механике. Ключевым результатом является то, что упругие силы в балке генерируют пару моментов, которая называется моментом сопротивления и уравновешивает внешний изгибающий момент из-за веса балки, нагрузки и т.д. Момент сопротивления, также называемый внутренним изгибающим моментом (I.B.M.) 

Здесь R - радиус кривизны балки в представленной точке (x, y). I называется геометрическим моментом инерции 

Поперечное сечение относительно оси, проходящей через нейтральный слой, который остается нерастянутым. (Рис.). Участок балки вне P имеет изгибающий момент N(x), имеем, 

Если нет другой нагрузки, связанной с весом балки, тогда 

Где ρ - плотность стали. Следовательно, при x = 0

Здесь b - ширина балки, перпендикулярного к рисунку. Также,

Следовательно,

Пример 6:

Горизонтально расположенный медный стержень длины l=1,0м вращают вокруг вертикальной оси, проходящей через его середину. При какой частоте оборотов он может разорваться? 

 

Решение от преподавателя:

Решение:

Рассмотрим элемент стержня на расстоянии х от его оси вращения (рис.). Из второго закона Ньютона в проекционной форме, направленной к оси вращения 

Интегрируя

Но в x=±l\2 или свободный конец, T=0 

таким образом

следовательно

таким образом

Необходимым условием является 

Следовательно, искомое число 

Пример 7:

Кольцо радиуса r=25см, сделанное из свинцовой проволоки, вращают вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через его центр и перпендикулярной к плоскости кольца. При какой частоте оборотов данное кольцо может разорваться? 

 

Решение от преподавателя:

Решение:

Рассмотрим элемент кольца (рис.). Из закона Ньютона F_n=mw_n для этого элемента получаем: 

Условие для задачи:

Таким образом, искомое число rps 

Итак n=23

Пример 8:

Стальная проволока диаметра d = 1,0 мм натянута в горизонтальном положении между двумя зажимами, находящимися на расстоянии l = 2,0 м друг от друга. К середине проволоки — точке О — подвесили груз массы m = 0,25 кг. На сколько сантиметров опустится точка О?

Решение от преподавателя:

Решение:

Найжем растяжение каждой из половинок проволки

Сила натяжения

Сила тяжести компенсируется суммарной силой натяжения от обеих половинок:

Приближенная формула ( при h <

h = 2.5 см

Пример 9:

Однородный упругий брусок движется по гладкой горизонтальной плоскости под действием постоянной силы F₀, равномерно распределенной по торцу. Площадь торца равна S, модуль Юнга материала — E. Найти относительное сжатие бруска в направлении действия данной силы. 

 

Решение от преподавателя:

Решение:

Рассмотрим элемент стержня на расстоянии xx от свободного конца (рис.). Для рассматриваемого элемента (T - T) - внутренние восстанавливающие силы, которые приводят к удлинению, а dT обеспечивает ускорение элемента. Для элемента из закона Ньютона: 

Поскольку свободный конец имеет нулевое напряжение, при интегрировании вышеуказанного выражения, 

Удлинение в рассматриваемом элементе длины dx: 

Таким образом, общее отклонение 

Следовательно, искомое напряжение 

Пример 10:

Тонкий однородный медный стержень длины l и массы m равномерно вращается с угловой скоростью ω в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через один из его концов. Найти силу натяжения в стержне в зависимости от расстояния r до оси вращения, а также удлинение стержня. 

Решение от преподавателя:

Решение:

Распределение силы натяжения отпределяется как раз таки нормальное ускорение каждого элемента стержня

Запишем закон Гука для каждого элемента стержня

 

 

Пример 11:

Сплошной медный цилиндр длины l=65см поставили на горизонтальную поверхность и сверху приложили вертикальную сжимающую силу F=1000Н, которая равномерно распределена по его торцу. На сколько кубических миллиметров изменился при этом объем цилиндра? 

Решение от преподавателя:

Решение:

Объем цилиндра 

Но продольная деформация Δl/l и сопутствующая боковая деформация Δr/r связаны как 

Используя (2) в (1), получим 

(Так как приращение длины цилиндра Δl отрицательно)

Так,

Таким образом, 

Отрицательный знак означает, что объем цилиндра уменьшился.