С какой скоростью будет двигаться камень, когда расстояние от него до поверхности Земли увеличится на 1 м по сравнению с начальным значением

Предмет: Физика
Раздел: Механика - кинематика и динамика

1. Камень массой 1 кг брошен со скоростью 20 м/с под углом 30° к горизонту. С какой скоростью будет двигаться камень, когда расстояние от него до поверхности Земли увеличится на 1 м по сравнению с начальным значением?

Дано:

• Начальная скорость \( v_0 = 20 \, \text{м/с} \),
• Угол \( \alpha = 30^\circ \),
• Расстояние до земли увеличилось на \( h = 1 \, \text{м} \).

Решение:

Разложим начальную скорость на компоненты:

1. Горизонтальная скорость: \[ v_x = v_0 \cdot \cos \alpha = 20 \cdot \cos 30^\circ = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 17{,}32 \, \text{м/с}. \]
2. Вертикальная скорость через время (учитываем вертикальное смещение):

Запишем второй закон Ньютона для вертикального перемещения:

\[ h = v_{y0}t - \frac{g t^2}{2}. \]

Подставляем: \( h = 1 \), \( v_{y0} = v_0 \cdot \sin \alpha = 20 \cdot \sin 30^\circ = 10 \, \text{м/с} \), \( g = 9{,}8 \, \text{м/с}^2 \).

Получаем:

\[ 1 = 10t - \frac{9{,}8 t^2}{2}. \]

Приводим к квадратному уравнению:

\[ 4{,}9 t^2 - 10t + 1 = 0. \]

Решаем через дискриминант:

\[ D = (-10)^2 - 4 \cdot 4{,}9 \cdot 1 = 100 - 19{,}6 = 80{,}4. \]

Находим \( t \):

\[ t = \frac{-(-10) \pm \sqrt{80{,}4}}{2 \cdot 4{,}9} = \frac{10 \pm 8{,}97}{9{,}8}. \]

Берём положительное значение:

\[ t \approx \frac{18{,}97}{9{,}8} \approx 1{,}94 \, \text{с}. \]

Теперь вертикальная скорость в этот момент:

\[ v_y = v_{y0} - g t = 10 - 9{,}8 \cdot 1{,}94 \approx 10 - 19{,}01 = -8{,}01 \, \text{м/с}. \]

Полная скорость (по теореме Пифагора):

\[ v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{17{,}32^2 + (-8{,}01)^2} \approx \sqrt{299{,}97 + 64{,}16} \approx \sqrt{364{,}13} \approx 19 \, \text{м/с}. \]

Ответ: \( \mathbf{19 \, \text{м/с}} \).

2. Камень, брошенный с башни горизонтально с начальной скоростью 10 м/с, упал на расстоянии 10 м от башни. Какова высота башни?

Дано:

• Горизонтальная скорость \( v_x = 10 \, \text{м/с} \),
• Расстояние до точки падения \( x = 10 \, \text{м} \),
• Ускорение свободного падения \( g = 9{,}8 \, \text{м/с}^2 \).

Решение:

1. Время полёта определяется из движения по горизонтали:

\[ t = \frac{x}{v_x} = \frac{10}{10} = 1 \, \text{с}. \]

2. Высота определяется по формуле движения тела вниз:

\[ h = \frac{g t^2}{2}. \]

Подставляем:

\[ h = \frac{9{,}8 \cdot 1^2}{2} = \frac{9{,}8}{2} = 4{,}9 \, \text{м}. \]

Ответ: высота башни \( \mathbf{4{,}9 \, \text{м}} \).

3. Тело, падающее с некоторой высоты без начальной скорости, последние 200 м пути прошло за 4 с. Сколько времени падало тело?

Дано:

• Перемещение на последнем участке: \( S = 200 \, \text{м} \),
• Время на последнем участке: \( t = 4 \, \text{с} \),
• Ускорение свободного падения \( g = 9{,}8 \, \text{м/с}^2 \).

Решение:

1. Скорость на последнем участке (в начале последних 200 м) найдём из формулы пути при равноускоренном движении:

\[ S = v \cdot t + \frac{g t^2}{2}. \]

Расписываем:

\[ 200 = v \cdot 4 + \frac{9{,}8 \cdot 4^2}{2}. \]

Считаем дополнительный член:

\[ \frac{9{,}8 \cdot 16}{2} = 78{,}4. \]

Подставляем:

\[ 200 = 4v + 78{,}4. \]

Находим \( v \):

\[ 4v = 200 - 78{,}4 = 121{,}6 \quad \to \quad v = \frac{121{,}6}{4} = 30{,}4 \, \text{м/с}. \]

2. Полная скорость перед падением (в момент \( t_1 \)):

\[ v = g T, \] где \( T \) — общее время падения.

Подставляем:

\[ 30{,}4 = 9{,}8 T \quad \to \quad T = \frac{30{,}4}{9{,}8} \approx 3{,}1 \, \text{с}. \]

Ответ: \( \mathbf{3{,}1 \, \text{с}} \).