Рассчитать угловое ускорение маховика, число оборотов и определить скорость, а также ускорение точки на ободе маховика через 10 минут

Данное задание относится к разделу физики под названием "Механика"

А именно к теме "Динамика вращательного движения". Нам нужно рассчитать угловое ускорение маховика, число оборотов и определить скорость, а также ускорение точки на ободе маховика через 10 минут.

Дано:

• Радиус маховика: \( R = 0.3 \, \text{м} \);
• Время вращения: \( t = 10 \, \text{мин} = 600 \, \text{с} \);
• Начальная угловая скорость: \( \omega_0 = 0 \, \text{рад/с} \) (поскольку маховик начинает двигаться из состояния покоя);
• Конечная угловая скорость (через 10 минут): \( \omega = 4 \pi \, \text{рад/с} \) (дано в условии).

1. Найдем угловое ускорение \( \varepsilon \)

Мы знаем, что при равноускоренном вращательном движении угловая скорость рассчитывается по формуле:

\[ \omega = \omega_0 + \varepsilon t \]

Учитывая, что \( \omega_0 = 0 \) (начинаем с покоя):

\[ \omega = \varepsilon t \]

Отсюда:

\[ \varepsilon = \frac{\omega}{t} = \frac{4\pi}{600} \, \text{рад/с}^2 = \frac{2\pi}{300} \, \text{рад/с}^2 \]

Посчитав числовое значение, получаем:

\[ \varepsilon \approx 0.02094 \, \text{рад/с}^2 \]

2. Найдем число оборотов \( N \)

Для равноускоренного движения угловой путь \( \theta \) (в радианах) рассчитывается по формуле:

\[ \theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \varepsilon t^2 \]

Так как \( \omega_0 = 0 \):

\[ \theta = \frac{1}{2} \varepsilon t^2 \]

Подставляем известные значения:

\[ \theta = \frac{1}{2} \cdot \frac{2\pi}{300} \cdot (600)^2 \]

Упрощаем:

\[ \theta = \frac{\pi}{300} \cdot 360000 = \pi \cdot 1200 \, \text{рад} \]

Переведем угловой путь в число оборотов, зная, что один оборот соответствует \( 2\pi \) радианам:

\[ N = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{1200\pi}{2\pi} = 600 \, \text{оборотов} \]

3. Найдем скорость точки на ободе через 10 минут

Линейная скорость \( v \) точки на ободе маховика связана с угловой скоростью \( \omega \) формулой:

\[ v = \omega R \]

Для времени \( t = 600 \, \text{с} \) угловая скорость \( \omega = 4\pi \, \text{рад/с} \):

\[ v = 4\pi \cdot 0.3 \, \text{м} = 1.2\pi \, \text{м/с} \]

Приближенное значение:

\[ v \approx 3.77 \, \text{м/с} \]

4. Найдем ускорение точки на ободе маховика

Полное ускорение точки на ободе состоит из тангенциального ускорения \( a_{\tau} \) и нормального ускорения \( a_n \).

• Тангенциальное ускорение рассчитывается по формуле:

\[ a_{\tau} = \varepsilon R \]

Подставляем значения:

\[ a_{\tau} = 0.02094 \cdot 0.3 \approx 0.00628 \, \text{м/с}^2 \]

• Нормальное ускорение:

\[ a_n = \omega^2 R = (4\pi)^2 \cdot 0.3 \]

Упрощаем:

Ответ:

1. Угловое ускорение маховика: \( \varepsilon \approx 0.02094 \, \text{рад/с}^2 \);
2. Число оборотов за 10 минут: \( N = 600 \, \text{оборотов} \);
3. Линейная скорость точки на ободе через 10 минут: \( v \approx 3.77 \, \text{м/с} \);
4. Ускорение точки на ободе через 10 минут: тангенциальное \( a_{\tau} \approx 0.00628 \, \text{м/с}^2 \) и нормальное \( a_n \approx 158.05 \, \text{м/с}^2 \).

\[ a_n = 16\pi^2 \cdot 0.3 \approx 158.05 \, \text{м/с}^2 \]