Рассчитать ошибку в высоте, которую допустил летчик при изменении температуры воздуха, при измерении высоты на основе данных барометра

Предмет: Физика

Раздел: Механика, Гидростатика (приборы для измерения давления, высотомеры).

Задача:

Рассчитать ошибку в высоте (Δh), которую допустил летчик при изменении температуры воздуха на ΔT=1 \, \text{K}, при измерении высоты на основе данных барометра.

Дано:

• Давление в кабине пилота: \( p = 80 \, \text{kPa} \)
• Давление на уровне земли: \( p_0 = 100 \, \text{kPa} \)
• Температура воздуха изменилась на \( \Delta T = 1 \, \text{K} \)

Решение:

В задаче говорится, что пилот считает высоту \( h \) постоянной на основе показаний барометра, несмотря на изменение температуры. Однако высотомер может зависеть от плотности воздуха, которая зависит от температуры. Изменение температуры приводит к ошибке в определении высоты.

1. Формула для изменения давления с высотой:

   В атмосфере давление изменяется с высотой по закону Барометра:

   \[ p = p_0 \cdot \exp\left(-\frac{Mgh}{RT}\right) \]

   где:

   • \( M \) — молярная масса воздуха (\( 0.029 \, \text{кг/моль} \)),
   • \( g \) — ускорение свободного падения (\( 9.8 \, \text{м/с}^2 \)),
   • \( R \) — универсальная газовая постоянная (\( 8.31 \, \text{Дж/(моль·К)} \)),
   • \( T \) — абсолютная температура воздуха.

2. Приближённая формула для определения высоты:

   Мы можем использовать приближенную формулу для малых высот:

   \[ h = \frac{RT}{Mg} \cdot \ln \left(\frac{p_0}{p}\right) \]

   Здесь температуры определяют плотность воздуха, следовательно, изменяя температуру \( T \), изменяется и вычисляемая высота.

3. Найдём изменение высоты \( \Delta h \) при изменении температуры на \( \Delta T = 1 \text{K} \):

   Для малого изменения температуры используем производную по \( T \):

   \[ \frac{d h}{d T} = \frac{R}{Mg} \cdot \ln \left(\frac{p_0}{p}\right) \]

   Подставим известные данные:

   \[ \frac{d h}{d T} = \frac{8.31}{0.029 \times 9.8} \cdot \ln \left(\frac{100}{80}\right) \]

   \[ \frac{d h}{d T} \approx 29.21 \cdot \ln(1.25) \]

   \[ \ln(1.25) \approx 0.223 \]

   Тогда:

   \[ \frac{d h}{d T} \approx 29.21 \times 0.223 \approx 6.51 \, \text{м/К} \]

4. Найдём ошибку в высоте при изменении температуры на \( \Delta T = 1 \text{К} \):

   Ошибка высоты:

   \[ \Delta h = \frac{d h}{d T} \cdot \Delta T = 6.51 \, \text{м/К} \cdot 1 \, \text{К} \approx 6.51 \, \text{м} \]

Ответ:

Ошибка в определении высоты \( \Delta h \), которую допустил летчик при изменении температуры воздуха на 1 K, составляет примерно \( 6.51 \, \text{метра} \).