Рассчитать ошибку в высоте, которую допустил летчик при изменении температуры воздуха, при измерении высоты на основе данных барометра

Предмет: Физика

Раздел: Механика, Гидростатика (приборы для измерения давления, высотомеры).

Задача:

Рассчитать ошибку в высоте ($\Delta h$), которую допустил летчик при изменении температуры воздуха на $\Delta T=1\text{K}$, при измерении высоты на основе данных барометра.

Дано:

• Давление в кабине пилота: $\text{(}p=80\text{kPa}\text{)}$
• Давление на уровне земли: $\text{(}{p}_0=100\text{kPa}\text{)}$
• Температура воздуха изменилась на $\text{(}\mathrm{\Delta }T=1\text{K}\text{)}$

Решение:

В задаче говорится, что пилот считает высоту $\text{(}h\text{)}$ постоянной на основе показаний барометра, несмотря на изменение температуры. Однако высотомер может зависеть от плотности воздуха, которая зависит от температуры. Изменение температуры приводит к ошибке в определении высоты.

1. Формула для изменения давления с высотой:

   В атмосфере давление изменяется с высотой по закону Барометра:

   $\text{[}p=p_0\cdot \exp (-\frac{Mgh}{RT})\text{]}$

   где:

   • $\text{(}M\text{)}$ — молярная масса воздуха ($\text{(}0.029\text{кг/моль}\text{)}$),
   • $\text{(}g\text{)}$ — ускорение свободного падения ($\text{(}9.8{\text{м/с}}^2\text{)}$),
   • $\text{(}R\text{)}$ — универсальная газовая постоянная ($\text{(}8.31\text{Дж/(моль·К)}\text{)}$),
   • $\text{(}T\text{)}$ — абсолютная температура воздуха.

2. Приближённая формула для определения высоты:

   Мы можем использовать приближенную формулу для малых высот:

   $\text{[}h=\frac{RT}{Mg}\cdot \ln \left(\frac{p_0}{p}\right)\text{]}$

   Здесь температуры определяют плотность воздуха, следовательно, изменяя температуру $\text{(}T\text{)}$, изменяется и вычисляемая высота.

3. Найдём изменение высоты $\text{(}\mathrm{\Delta }h\text{)}$ при изменении температуры на $\text{(}\mathrm{\Delta }T=1\text{K}\text{)}:$

   Для малого изменения температуры используем производную по $\text{(}T\text{)}:$

   $\text{[}\frac{dh}{dT}=\frac{R}{Mg}\cdot \ln \left(\frac{p_0}{p}\right)\text{]}$

   Подставим известные данные:

   $\text{[}\frac{dh}{dT}=\frac{8.31}{0.029\times 9.8}\cdot \ln \left(\frac{100}{80}\right)\text{]}$

   $\text{[}\frac{dh}{dT}\approx 29.21\cdot \ln (1.25)\text{]}$

   $\text{[}\ln (1.25)\approx 0.223\text{]}$

   Тогда:

   $\text{[}\frac{dh}{dT}\approx 29.21\times 0.223\approx 6.51\text{м/К}\text{]}$

4. Найдём ошибку в высоте при изменении температуры на $\text{(}\mathrm{\Delta }T=1\text{К}\text{)}:$

   Ошибка высоты:

   $\text{[}\mathrm{\Delta }h=\frac{dh}{dT}\cdot \mathrm{\Delta }T=6.51\text{м/К}\cdot 1\text{К}\approx 6.51\text{м}\text{]}$

Ответ:

Ошибка в определении высоты $\text{(}\mathrm{\Delta }h\text{)}$, которую допустил летчик при изменении температуры воздуха на 1 K, составляет примерно $\text{(}6.51\text{метра}\text{)}$.