Расчет момента инерции тела относительно заданной оси

Определение предмета и раздела:

Данная задача относится к разделу "Механика" предмета "Физика". Конкретно, это задача на расчет момента инерции тела относительно заданной оси.

Теория:

Момент инерции (обозначается как [J]) — это мера инертности тела при вращении вокруг заданной оси. Для тонкого стержня момент инерции относительно оси, перпендикулярной стержню, рассчитывается с использованием формулы:

J = \int r^2 \, dm,

где:

• [r] — расстояние от оси вращения до элемента массы [dm],
• [dm] — элемент массы стержня.

Если масса распределена равномерно, то элемент массы можно выразить через линейную плотность:

\lambda = \frac{m}{\ell},

где [\lambda] — линейная плотность, [m] — масса стержня, [\ell] — длина стержня. Тогда [dm = \lambda \, dx], где [dx] — элемент длины стержня.

1. Момент инерции относительно оси, проходящей через конец стержня:

Ось проходит через один из концов стержня. В этом случае расстояние [r] от оси до элемента массы варьируется от [0] до [\ell]. Подставим в формулу:

J = \int_0^\ell r^2 \, dm = \int_0^\ell r^2 \lambda \, dr.

Подставим [\lambda = \frac{m}{\ell}]:

J = \int_0^\ell r^2 \frac{m}{\ell} \, dr = \frac{m}{\ell} \int_0^\ell r^2 \, dr.

Вычислим интеграл:

\int_0^\ell r^2 \, dr = \left[\frac{r^3}{3}\right]_0^\ell = \frac{\ell^3}{3}.

Подставим это в формулу для [J]:

J = \frac{m}{\ell} \cdot \frac{\ell^3}{3} = \frac{m \ell^2}{3}.

Теперь подставим числовые значения: [\ell = 50 \, \text{мм} = 0{,}05 \, \text{м}], [m = 0{,}36 \, \text{кг}]:

J = \frac{0{,}36 \cdot (0{,}05)^2}{3} = \frac{0{,}36 \cdot 0{,}0025}{3} = \frac{0{,}0009}{3} = 0{,}0003 \, \text{кг·м}^2.

Ответ для первого случая: [J = 0{,}0003 \, \text{кг·м}^2].

2. Момент инерции относительно оси, отстоящей от конца стержня на [\frac{\ell}{6}]:

Теперь ось проходит через точку, отстоящую от одного конца стержня на [\frac{\ell}{6}]. В этом случае удобно воспользоваться теоремой Штейнера, которая утверждает:

J = J_{\text{центр}} + m d^2,

где:

• [J_{\text{центр}}] — момент инерции относительно центра масс стержня,
• [d] — расстояние между новой осью и осью, проходящей через центр масс.

Для тонкого стержня момент инерции относительно оси, проходящей через его центр, равен:

J_{\text{центр}} = \frac{m \ell^2}{12}.

Расстояние [d] между центром масс и новой осью равно:

d = \left|\frac{\ell}{2} - \frac{\ell}{6}\right| = \frac{3\ell}{6} - \frac{\ell}{6} = \frac{\ell}{3}.

Теперь подставим все в формулу:

J = \frac{m \ell^2}{12} + m \left(\frac{\ell}{3}\right)^2.

Вынесем [m] за скобки:

J = m \left(\frac{\ell^2}{12} + \frac{\ell^2}{9}\right).

Приведем дроби к общему знаменателю ([36]):

\frac{\ell^2}{12} + \frac{\ell^2}{9} = \frac{3\ell^2}{36} + \frac{4\ell^2}{36} = \frac{7\ell^2}{36}.

Тогда:

J = m \cdot \frac{7\ell^2}{36} = \frac{7m \ell^2}{36}.

Подставим числовые значения ([m = 0{,}36 \, \text{кг}], [\ell = 0{,}05 \, \text{м}]):

J = \frac{7 \cdot 0{,}36 \cdot (0{,}05)^2}{36} = \frac{7 \cdot 0{,}36 \cdot 0{,}0025}{36} = \frac{0{,}0063}{36} \approx 0{,}000175 \, \text{кг·м}^2.

Ответ для второго случая: [J \approx 0{,}000175 \, \text{кг·м}^2].

Итоговые ответы:

1. Момент инерции относительно оси через конец стержня: [J = 0{,}0003 \, \text{кг·м}^2].
2. Момент инерции относительно оси, отстоящей на [\frac{\ell}{6}]: [J \approx 0{,}000175 \, \text{кг·м}^2].