Расчет момента инерции составной системы относительно заданной оси

Давайте разберемся с этой задачей.

Определение предмета и раздела

Этот вопрос относится к физике, в частности разделу механики, а именно к теме момент инерции системы тел. Задача требует расчета момента инерции составной системы относительно заданной оси.

Дано:

• Длина стержня \( L = 1 \) м.
• Масса стержня \( M = 3m \).
• Массы шариков: \( m_{1} = m \), \( m_{2} = 2m \).
• Осна оси перпендикулярна стержню и проходит через точку \( O \), которая лежит на оси стержня.

Не указана конкретная точка \( O \), но из условий можно сделать вывод, что она находится непосредственно в центре стержня. Примем, что:

• \( m = 0,1 \) кг, тогда масса стержня: \( M = 3m = 0,3 \) кг.
• Расстояние от центра стержня до каждого конца — половина длины стержня: \( L/2 = 0,5 \) м.

Задача

Найти момент инерции системы, состоящей из стержня и двух шариков, относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его центр.

Момент инерции

Момент инерции \( I \) для системы состоит из суммы моментов инерции всех её частей. Это будут:

1. Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его центр (стандартное решение для стержня).
2. Момент инерции шариков относительно той же оси.

1. Момент инерции стержня:

Для однородного стержня момент инерции \( I_{\text{стержня}} \) относительно оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его центр, вычисляется по формуле:

\[ I_{\text{стержня}} = \frac{1}{12} M L^2 \]

Подставляем значения:

\[ I_{\text{стержня}} = \frac{1}{12} \times 0{,}3 \times 1^2 = \frac{0{,}3}{12} = 0{,}025 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 \]

2. Момент инерции шариков:

Оба шарика можно считать материальными точками, так как они «маленькие», как сказано в задаче. Для материальной точки момент инерции рассчитывается по формуле:

\[ I = mr^2 \]

где \( r \) — расстояние от оси вращения до точки.

Теперь вычислим моменты инерции для каждого шарика:

Шарик массой \( m_1 = m \):

Расстояние от оси до первого шарика — это половина длины стержня, \( r = 0,5 \, \text{м} \).

Момент инерции для первого шарика:

\[ I_1 = m \cdot r^2 = 0{,}1 \cdot 0{,}5^2 = 0{,}1 \cdot 0{,}25 = 0{,}025 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 \]

Шарик массой \( m_2 = 2m \):

Аналогично, для второго шарика при \( r = 0{,}5 \, \text{м} \):

\[ I_2 = 2m \cdot r^2 = 2 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}5^2 = 0{,}2 \cdot 0{,}25 = 0{,}05 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 \]

3. Общий момент инерции системы:

Теперь сложим все моменты инерции:

\[ I_{\text{системы}} = I_{\text{стержня}} + I_1 + I_2 = 0{,}025 + 0{,}025 + 0{,}05 = 0{,}1 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 \]

Ответ:

Момент инерции системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его центр, равен: