При перемещении математического маятника с Земли на другую планету период его колебаний увеличился в n1 = 6 раз. Во сколько раз масса Земли больше массы планеты, если радиус Земли в n2 = 2 раза больше радиуса планеты?

Условие:

При перемещении математического маятника с Земли на другую планету период его колебаний увеличился в n1 = 6 раз. Во сколько раз масса Земли больше массы планеты, если радиус Земли в n2 = 2 раза больше радиуса планеты?

Решение:

Этот вопрос относится к предмету "Физика", разделу "Механика", а конкретно к теме "Гармонические колебания". Чтобы решить задачу, воспользуемся формулой для периода математического маятника: \[ T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \] где: - \( T \) — период маятника, - \( L \) — длина подвеса маятника, - \( g \) — ускорение свободного падения. При перемещениимаятника на другую планету период увеличился в \( n_1 \) раз: \[ T' = n_1 T \] Как известно, ускорение свободного падения на поверхности планеты связано с её массой и радиусом формулой: \[ g = \frac{GM}{R^2} \] где: - \( G \) — гравитационная постоянная, - \( M \) — масса планеты, - \( R \) — радиус планеты. На Земле это выражение будет: \[ g_{\text{Земля}} = \frac{GM_{\text{Земля}}}{R_{\text{Земля}}^2} \] На другой планете: \[ g_{\text{планета}} = \frac{GM_{\text{планета}}}{R_{\text{планета}}^2} \] Теперь подставим ускорения в формулу для периодов и выразим отношение \( T' = n_1 T \) (учтём, что длина маятника остаётся неизменной): \[ 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{\text{планета}}}} = n_1 \cdot 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{\text{Земля}}}} \] Упрощаем: \[ \sqrt{\frac{1}{g_{\text{планета}}}} = n_1 \sqrt{\frac{1}{g_{\text{Земля}}}} \] \[ \frac{1}{\sqrt{g_{\text{планета}}}} = n_1 \cdot \frac{1}{\sqrt{g_{\text{Земля}}}} \] \[ \sqrt{g_{\text{Земля}}} = n_1 \sqrt{g_{\text{планета}}} \] Возведём в квадрат обе стороны: \[ g_{\text{Земля}} = n_1^2 g_{\text{планета}} \] Теперь подставим выражения для \( g_{\text{Земля}} \) и \( g_{\text{планета}} \): \[ \frac{GM_{\text{Земля}}}{R_{\text{Земля}}^2} = n_1^2 \cdot \frac{GM_{\text{планета}}}{R_{\text{планета}}^2} \] Сократим \( G \): \[ \frac{M_{\text{Земля}}}{R_{\text{Земля}}^2} = n_1^2 \cdot \frac{M_{\text{планета}}}{R_{\text{планета}}^2} \] Нам дано, что радиус Земли в \( n_2 \) раз больше радиуса планеты: \[ R_{\text{Земля}} = n_2 R_{\text{планета}} \] Подставим это в уравнение: \[ \frac{M_{\text{Земля}}}{(n_2 R_{\text{планета}})^2} = n_1^2 \cdot \frac{M_{\text{планета}}}{R_{\text{планета}}^2} \] \[ \frac{M_{\text{Земля}}}{n_2^2 R_{\text{планета}}^2} = n_1^2 \cdot \frac{M_{\text{планета}}}{R_{\text{планета}}^2} \] Сократим \( R_{\text{планета}}^2 \): \[ \frac{M_{\text{Земля}}}{n_2^2} = n_1^2 M_{\text{планета}} \] Наконец, выразим отношение масс: \[ M_{\text{Земля}} = n_1^2 n_2^2 M_{\text{планета}} \] Подставим \( n_1 = 6 \) и \( n_2 = 2 \): \[ M_{\text{Земля}} = 6^2 \cdot 2^2 \cdot M_{\text{планета}} \] \[ M_{\text{Земля}} = 36 \cdot 4 \cdot M_{\text{планета}} \] \[ M_{\text{Земля}} = 144 \cdot M_{\text{планета}} \] Таким образом, масса Земли в 144 раза больше массы планеты.