Подобрать диаметр трубы D для вертикальных стержней, чтобы они выдерживали нагрузку с учетом коэффициента безопасности

Предмет: Механика материалов
Раздел: Расчет прочности и жесткости элементов конструкций

Дано:

• Нагрузка на балку: q = 1000 \text{ Н/м}
• Длина балки: L = 3 \text{ м}
• Шаг вертикальных стержней: b = 5 \text{ м}
• Модуль упругости материала: E = 210000 \text{ МПа} = 210 \times 10^9 \text{ Па}
• Сечение стержня: труба с толщиной стенки t = 0.1 \cdot D
• Коэффициент безопасности: k = 2
• Соединение шарнирное

Задача: подобрать диаметр трубы D для вертикальных стержней, чтобы они выдерживали нагрузку с учетом коэффициента безопасности.

Шаг 1. Определение нагрузки на один вертикальный стержень

Вертикальные стержни расположены с шагом b, значит нагрузка на один стержень равна нагрузке на длину балки равную b.

Полная нагрузка на длине b равна:

 P = q \cdot b 

Подставим числа:

 P = 1000 \text{ Н/м} \times 5 \text{ м} = 5000 \text{ Н} 

Шаг 2. Определение усилия в вертикальном стержне

Поскольку соединение шарнирное, вертикальный стержень воспринимает эту нагрузку как осевое сжатие.

Шаг 3. Определение допустимого напряжения с учетом коэффициента безопасности

Материал — сталь с модулем упругости E, допустимое напряжение \sigma_{allow} можно определить через предел текучести стали, но он не указан. Предположим, что предел текучести \sigma_y = 250 \text{ МПа} (типичное значение для стали).

Тогда допустимое напряжение с учетом коэффициента безопасности:

 \sigma_{allow} = \frac{\sigma_y}{k} = \frac{250 \times 10^6}{2} = 125 \times 10^6 \text{ Па} 

Шаг 4. Определение площади поперечного сечения трубы

Напряжение в стержне:

 \sigma = \frac{P}{A} 

Отсюда площадь сечения:

 A = \frac{P}{\sigma_{allow}} = \frac{5000}{125 \times 10^6} = 4 \times 10^{-5} \text{ м}^2 = 40 \text{ мм}^2 

Шаг 5. Определение диаметра трубы

Сечение — труба с толщиной стенки t = 0.1 D. Площадь кольца равна разности площади большого круга и малого:

 A = \pi \left(\frac{D}{2}\right)^2 - \pi \left(\frac{D}{2} - t\right)^2 = \pi \left[ \left(\frac{D}{2}\right)^2 - \left(\frac{D}{2} - t\right)^2 \right] 

Подставим t = 0.1 D:

 A = \pi \left[ \left(\frac{D}{2}\right)^2 - \left(\frac{D}{2} - 0.1 D\right)^2 \right] = \pi \left[ \frac{D^2}{4} - \left( \frac{D}{2} - 0.1 D \right)^2 \right] 

Вычислим выражение в скобках:

 \frac{D}{2} - 0.1 D = 0.5 D - 0.1 D = 0.4 D 

Значит:

 A = \pi \left( \frac{D^2}{4} - (0.4 D)^2 \right) = \pi \left( \frac{D^2}{4} - 0.16 D^2 \right) = \pi D^2 \left( \frac{1}{4} - 0.16 \right) = \pi D^2 (0.25 - 0.16) = \pi D^2 \times 0.09 

Отсюда:

 A = 0.09 \pi D^2 

Шаг 6. Решение уравнения для D

Приравняем площадь сечения к найденному значению:

 0.09 \pi D^2 = 4 \times 10^{-5} \text{ м}^2 

Отсюда:

 D^2 = \frac{4 \times 10^{-5}}{0.09 \pi} = \frac{4 \times 10^{-5}}{0.2827} \approx 1.415 \times 10^{-4} \text{ м}^2 

Следовательно:

 D = \sqrt{1.415 \times 10^{-4}} \approx 0.0119 \text{ м} = 11.9 \text{ мм} 

Ответ:

Диаметр трубы должен быть не менее D \approx 12 \text{ мм}.

Итог:

Чтобы вертикальные стержни выдерживали нагрузку с коэффициентом безопасности 2, необходимо использовать трубу диаметром около 12 мм с толщиной стенки 10% от диаметра (около 1.2 мм).