Определите период малых колебаний тонкого стержня длиной 1.56 м, подвешенного вертикально за один из концов

Предмет: Физика
Раздел: Механика, колебания и динамика твердого тела

Решение:

Рассмотрим тонкий стержень длиной L = 1.56 м, подвешенный за один из концов.
Для малых угловых отклонений стержень совершает гармонические колебания вокруг точки подвеса.

1. Момент инерции стержня относительно точки подвеса:

Момент инерции тонкого стержня относительно центра масс:

I_c = \frac{1}{12} m L^2

Используем теорему Штейнера для вычисления момента инерции относительно точки подвеса:

I = I_c + m \left(\frac{L}{2}\right)^2 = \frac{1}{12} m L^2 + \frac{1}{4} m L^2 = \frac{1}{3} m L^2

2. Уравнение движения:

Запишем уравнение вращательного движения, учитывая момент силы тяжести:

I \ddot{\theta} = -mg \frac{L}{2} \theta

Подставим I = \frac{1}{3} m L^2:

\frac{1}{3} m L^2 \ddot{\theta} = -mg \frac{L}{2} \theta

Сократим массу m:

\frac{1}{3} L^2 \ddot{\theta} + \frac{1}{2} g L \theta = 0

Это уравнение гармонических колебаний вида:

\ddot{\theta} + \omega^2 \theta = 0

где циклическая частота:

\omega = \sqrt{\frac{3g}{2L}}

3. Период колебаний:

Период связан с частотой соотношением:

T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{2L}{3g}}

Подставляем L = 1.56 м и ускорение свободного падения g = 9.81 м/с²:

T = 2\pi \sqrt{\frac{2 \times 1.56}{3 \times 9.81}}

Вычислим:

\frac{2 \times 1.56}{3 \times 9.81} = \frac{3.12}{29.43} \approx 0.106

\sqrt{0.106} \approx 0.325

T \approx 2\pi \times 0.325 \approx 2.04 с.

Ответ:

T \approx 2.04 с (с точностью до трех значащих цифр).