Определите момент импульса шара массой m и радиусом R, вращающегося с частотой вокруг оси, совпадающейс касательной к шару

Определение предмета и раздела:

Данное задание относится к физике, конкретно к разделу механики. Более узко, задача связана с темой механики вращательного движения и момента импульса физических тел.

Задача:

Определить момент импульса шара массой \( m \) и радиусом \( R \), который вращается с частотой \( \nu \) вокруг оси, совпадающей с касательной к шару.

Шаг 1: Определение момента инерции.

Для начала напомним, что момент импульса тела можно выразить через момент инерции и угловую скорость. Формула для момента импульса следующая:

\[ L = I \cdot \omega \]

где:

• \( L \) — момент импульса,
• \( I \) — момент инерции тела относительно оси вращения,
• \( \omega \) — угловая скорость вращения тела.

Первое, что нужно сделать, это найти момент инерции шара относительно оси, проходящей через касательную.

Используем теорему Штейнера.

Теорема Штейнера позволяет перенести момент инерции относительно центра масс в другую точку при известном расстоянии между осью вращения и центром масс. Момент инерции сплошного шара относительно оси, проходящей через его центр, равен:

\[ I_{\text{центр}} = \frac{2}{5} m R^2 \]

Для оси, проходящей через точку, смещённую на расстояние \( R \) от центра масс (в данном случае — касательная), мы применяем теорему Штейнера:

\[ I_{\text{касательная}} = I_{\text{центр}} + m R^2 \]

Подставляем значение момента инерции для шара относительно центра масс:

\[ I_{\text{касательная}} = \frac{2}{5} m R^2 + m R^2 = \frac{7}{5} m R^2 \]

Теперь у нас есть момент инерции относительно касательной.

Шаг 2: Найдём угловую скорость \(\omega\).

Частота вращения \( \nu \) связана с угловой скоростью \( \omega \) следующим соотношением:

\[ \omega = 2\pi \nu \]

где:

• \( \nu \) — частота вращения (в оборотах в секунду),
• \( \omega \) — угловая скорость (в радианах в секунду).

Шаг 3: Определение момента импульса \( L \).

Теперь мы можем подставить значения момента инерции и угловой скорости в формулу для момента импульса:

\[ L = I_{\text{касательная}} \cdot \omega = \frac{7}{5} m R^2 \cdot 2\pi \nu \]

Итак, итоговое выражение для момента импульса шара будет:

Ответ:

Момент импульса шара массой \( m \), радиусом \( R \), вращающегося с частотой \( \nu \) вокруг оси, совпадающей с касательной, равен:

\[ L = \frac{14}{5} \pi m R^2 \nu \]