Определите момент импульса шара массой m и радиусом R, вращающегося с частотой ν вокруг оси, совпадающейс касательной к шару.

Определение предмета и раздела

Задача относится к физике, а конкретнее к разделу механики, подразделу динамики вращательного движения твердых тел (момент импульса или кинетика вращательного движения).

Условие задачи

Определить момент импульса \(L\) шара массой \(m\) и радиусом \(R\), вращающегося с частотой \(\nu\) вокруг оси, совпадающей с касательной к шару.

Решение задачи

1. Что нужно найти? Нам нужно найти момент импульса шара \(L\), который вращается вокруг оси, совпадающей с его касательной. Формула для момента импульса: \[ L = I \cdot \omega, \] где:
   • \(I\) — момент инерции тела относительно оси вращения;
   • \(\omega\) — угловая скорость вращения.
2. Момент инерции шара относительно касательной оси (теорема Штейнера):

   Шар вращается не вокруг своей центральной оси, а вокруг касательной. В этом случае используется теорема Штейнера, которая позволяет найти момент инерции относительно оси, не совпадающей с центром масс.

   Момент инерции шара радиусом \(R\) и массой \(m\) относительно оси, проходящей через его центр масс, равен: \[ I_{\text{центр}} = \frac{2}{5} m R^2. \]

   Согласно теореме Штейнера, момент инерции относительно касательной (обозначим \(I_{\text{касательная}}\)) вычисляется как:

   \[ I_{\text{касательная}} = I_{\text{центр}} + m \cdot d^2, \]

   где \(d = R\) — расстояние от центра масс до касательной. Подставляем:

   \[ I_{\text{касательная}} = \frac{2}{5} m R^2 + m R^2 = \frac{7}{5} m R^2. \]
3. Связь частоты вращения и угловой скорости:

   Угловая скорость \(\omega\) связана с частотой \(\nu\) следующим образом:

   \[ \omega = 2\pi \nu. \]
4. Подставляем всё в формулу для момента импульса:

   Формула \(L = I \cdot \omega\) примет вид:

   \[ L = I_{\text{касательная}} \cdot \omega = \left( \frac{7}{5} m R^2 \right) \cdot (2\pi \nu). \]

   Упростим:

   \[ L = \frac{14}{5} \pi m R^2 \nu. \]

Ответ:

Момент импульса шара относительно касательной оси равен:

Пояснения:

1. Для правильного понимания задачи важно было учесть теорему Штейнера, поскольку ось вращения не совпадает с центральной осью шара.
2. Связь линейных и угловых характеристик была проведена через частоту вращения.

\[ L = \frac{14}{5} \pi m R^2 \nu. \]