Условие:
При перемещении математического маятника с Земли на другую планету период его колебаний увеличился в n1 = 6 раз. Во сколько раз масса Земли больше массы планеты, если радиус Земли в n2 = 2 раза больше радиуса планеты?
Решение:
Это задание относится к предмету физика, раздел механика, тема колебания и гравитация.
Задание решаем следующим образом:
- Запишем формулы для периода маятника:
Для математического маятника период колебаний \( T \) на Земле можно выразить через длину маятника \( l \) и ускорение свободного падения \( g \):
\[ T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} \]
- Обозначим известные величины:
\( T_{\text{Земля}} \) — период колебаний на Земле, \( T_{\text{планета}} \) — период колебаний на планете. По условию \( T_{\text{планета}} = 6 T_{\text{Земля}} \).
- Запишем формулу для периода на планете:
Период маятника на планете с ускорением свободного падения \( g_{\text{планета}} \) можно записать аналогично:
\[ T_{\text{планета}} = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g_{\text{планета}}}} \]
- Сравним периоды:
Из условия \( T_{\text{планета}} = 6 T_{\text{Земля}} \), подставим формулы:
\[ 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g_{\text{планета}}}} = 6 \cdot 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} \]
- Сократим \( 2 \pi \sqrt{l} \) и возведем обе стороны в квадрат:
\[ \frac{1}{g_{\text{планета}}} = 36 \frac{1}{g} \]
\[ g_{\text{планета}} = \frac{g}{36} \]
- Теперь выразим ускорение свободного падения через гравитационную постоянную \( G \), массу планеты \( M \) и радиус \( R \):
На Земле:
\[ g = \frac{G M_{\text{Земля}}}{R_{\text{Земля}}^2} \]
На планете:
\[ g_{\text{планета}} = \frac{G M_{\text{планета}}}{R_{\text{планета}}^2} \]
- Подставим полученное соотношение \( g_{\text{планета}} = \frac{g}{36} \):
\[ \frac{G M_{\text{планета}}}{R_{\text{планета}}^2} = \frac{1}{36} \cdot \frac{G M_{\text{Земля}}}{R_{\text{Земля}}^2} \]
- Сократим гравитационную постоянную \( G \):
\[ \frac{M_{\text{планета}}}{R_{\text{планета}}^2} = \frac{1}{36} \cdot \frac{M_{\text{Земля}}}{R_{\text{Земля}}^2} \]
- Используем то, что радиус Земли в 2 раза больше радиуса планеты \( R_{\text{Земля}} = 2 R_{\text{планета}} \):
\[ \frac{M_{\text{планета}}}{R_{\text{планета}}^2} = \frac{1}{36} \cdot \frac{M_{\text{Земля}}}{(2 R_{\text{планета}})^2} \]
- Приведем к общему знаменателю:
\[ \frac{M_{\text{планета}}}{R_{\text{планета}}^2} = \frac{1}{36} \cdot \frac{M_{\text{Земля}}}{4 R_{\text{планета}}^2} \]
- Сократим \( R_{\text{планета}}^2 \):
\[ M_{\text{планета}} = \frac{1}{36} \cdot \frac{M_{\text{Земля}}}{4} \]
\[ M_{\text{планета}} = \frac{1}{144} M_{\text{Земля}} \]
- Таким образом, масса Земли больше массы планеты в 144 раза:
\[ M_{\text{Земля}} = 144 M_{\text{планета}} \]
Ответ: масса Земли больше массы планеты в 144 раза.