Определить во сколько раз масса Земли больше массы планеты, если радиус Земли в n2 = 2 раза больше радиуса планеты

Условие:

При перемещении математического маятника с Земли на другую планету период его колебаний увеличился в n1 = 6 раз. Во сколько раз масса Земли больше массы планеты, если радиус Земли в n2 = 2 раза больше радиуса планеты?

Решение:

Это задание относится к предмету физика, раздел механика, тема колебания и гравитация. Задание решаем следующим образом: 1. **Запишем формулы для периода маятника:** Для математического маятника период колебаний \( T \) на Земле можно выразить через длину маятника \( l \) и ускорение свободного падения \( g \): \[ T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} \] 2. **Обозначим известные величины:** \( T_{\text{Земля}} \) — период колебаний на Земле, \( T_{\text{планета}} \) — период колебаний на планете. По условию \( T_{\text{планета}} = 6 T_{\text{Земля}} \). 3. **Запишем формулу для периода на планете:** Период маятника на планете с ускорением свободного падения \( g_{\text{планета}} \) можно записать аналогично: \[ T_{\text{планета}} = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g_{\text{планета}}}} \] 4. **Сравним периоды:** Из условия \( T_{\text{планета}} = 6 T_{\text{Земля}} \), подставим формулы: \[ 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g_{\text{планета}}}} = 6 \cdot 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} \] 5. **Сократим \( 2 \pi \sqrt{l} \) и возведем обе стороны в квадрат:** \[ \frac{1}{g_{\text{планета}}} = 36 \frac{1}{g} \] \[ g_{\text{планета}} = \frac{g}{36} \] 6. **Теперь выразим ускорение свободного падения через гравитационную постоянную \( G \), массу планеты \( M \) и радиус \( R \):** На Земле: \[ g = \frac{G M_{\text{Земля}}}{R_{\text{Земля}}^2} \] На планете: \[ g_{\text{планета}} = \frac{G M_{\text{планета}}}{R_{\text{планета}}^2} \] 7. **Подставим полученное соотношение \( g_{\text{планета}} = \frac{g}{36} \):** \[ \frac{G M_{\text{планета}}}{R_{\text{планета}}^2} = \frac{1}{36} \cdot \frac{G M_{\text{Земля}}}{R_{\text{Земля}}^2} \] 8. **Сократим гравитационную постоянную \( G \):** \[ \frac{M_{\text{планета}}}{R_{\text{планета}}^2} = \frac{1}{36} \cdot \frac{M_{\text{Земля}}}{R_{\text{Земля}}^2} \] 9. **Используем то, что радиус Земли в 2 раза больше радиуса планеты \( R_{\text{Земля}} = 2 R_{\text{планета}} \):** \[ \frac{M_{\text{планета}}}{R_{\text{планета}}^2} = \frac{1}{36} \cdot \frac{M_{\text{Земля}}}{(2 R_{\text{планета}})^2} \] 10. **Приведем к общему знаменателю:** \[ \frac{M_{\text{планета}}}{R_{\text{планета}}^2} = \frac{1}{36} \cdot \frac{M_{\text{Земля}}}{4 R_{\text{планета}}^2} \] 11. **Сократим \( R_{\text{планета}}^2 \):** \[ M_{\text{планета}} = \frac{1}{36} \cdot \frac{M_{\text{Земля}}}{4} \] \[ M_{\text{планета}} = \frac{1}{144} M_{\text{Земля}} \] 12. **Таким образом, масса Земли больше массы планеты в 144 раза:** \[ M_{\text{Земля}} = 144 M_{\text{планета}} \] Ответ: масса Земли больше массы планеты в 144 раза.