Определить величину направление скоростицентра масс системы, состоящей из 2-х частиц

Этот пример относится к области учебного предмета физика, раздел «Механика», тема «Движение системы частиц». Мы будем искать скорость центра масс двухчастичной системы.

Дано:

1. Масса первой частицы: \( m_1 = 1 \ \text{кг} \)
2. Скорость первой частицы: \( v_1 = 2 \ \text{м/с} \) (направлена вертикально вверх)
3. Масса второй частицы: \( m_2 = 2 \ \text{кг} \)
4. Скорость второй частицы: \( v_2 = 0{,}5 \ \text{м/с} \) (направлена горизонтально вправо)

Требуется определить:

Скорость центра масс системы.

Решение:

Скорость центра масс (ЦМ) системы частиц определяется по формуле:

\[ \vec{V}_{\text{цм}} = \frac{m_1 \cdot \vec{v_1} + m_2 \cdot \vec{v_2}}{m_1 + m_2} \]

Где:

• \( \vec{V}_{\text{цм}} \) — искомая скорость центра масс,
• \( \vec{v_1} \) и \( \vec{v_2} \) — векторные скорости первой и второй частиц,
• \( m_1 \) и \( m_2 \) — массы частиц.

Мы находим векторную сумму скоростей частиц с учетом их направлений:

1. Первая частица движется вертикально вверх со скоростью \( \vec{v_1} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix} \) м/с,
2. Вторая частица движется горизонтально вправо со скоростью \( \vec{v_2} = \begin{pmatrix} 0{,}5 \\ 0 \end{pmatrix} \) м/с.

Теперь запишем сумму импульсов:

\[ \sum m_i \cdot \vec{v_i} = m_1 \cdot \vec{v_1} + m_2 \cdot \vec{v_2} \]

\[ = 1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0{,}5 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \]

Теперь определим скорость центра масс:

\[ \vec{V}_{\text{цм}} = \frac{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}}{m_1 + m_2} = \frac{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}}{1 + 2} = \frac{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}}{3} = \begin{pmatrix} 0{,}33 \\ 0{,}67 \end{pmatrix} \ (\text{м/с}) \]

То есть компоненты скорости центра масс по осям:

• по оси \(x\) \( V_{x, \text{цм}} = 0{,}33 \ \text{м/с} \),
• по оси \(y\) \( V_{y, \text{цм}} = 0{,}67 \ \text{м/с} \).

Теперь найдём величину скорости центра масс:

\[ V_{\text{цм}} = \sqrt{V_{x, \text{цм}}^2 + V_{y, \text{цм}}^2} = \sqrt{0{,}33^2 + 0{,}67^2} = \sqrt{0{,}1089 + 0{,}4489} = \sqrt{0{,}5578} \approx 0{,}75 \ \text{м/с} \]

Теперь найдём угол направления скорости центра масс относительно горизонтальной оси \(x\):

\[ \tan \theta = \frac{V_{y, \text{цм}}}{V_{x, \text{цм}}} = \frac{0{,}67}{0{,}33} \approx 2 \]

Угол \( \theta \) можно найти с использованием арктангенса:

Ответ:

• Величина скорости центра масс: \( V_{\text{цм}} \approx 0{,}75 \ \text{м/с} \),
• Направление скорости составляет около \( 63{,}4^\circ \) относительно горизонтальной оси, вверх вправо.