Определить уравнения движения, траекторию и скорость средней точки шатунного звена

Предмет: Теоретическая механика (раздел: кинематика механизма)

Задача относится к теме кинематики кривошипно-шатунного механизма, и требуется определить уравнения движения, траекторию и скорость средней точки шатунного звена.

Дано:

• Угловая скорость кривошипа \(\omega = 10 \, \text{рад/с}\).
• Длина кривошипа \(OA = 80 \, \text{см} = 0,8 \, \text{м}\).
• Длина шатуна \(AB = 80 \, \text{см} = 0,8 \, \text{м}\).
• Точка \(M\) — средняя точка шатуна.

Необходимо найти:

1. Уравнения движения точки \(M\) (координаты \(x_M\) и \(y_M\)).
2. Траекторию точки \(M\).
3. Скорость средней точки \(M\).

Решение:

1. Уравнения движения точки \(M\)

Для начала рассмотрим движения точек \(A\) и \(M\).

- Координаты точки \(A\) при вращении кривошипа \(OA\) (с углом \(\psi\)):

\[ x_A = R \cos{\psi}, \quad y_A = R \sin{\psi} \]

где \(R = OA = 0,8 \, \text{м}\), а \(\psi = \omega t\).

Таким образом:

\[ x_A = 0,8 \cos{(10t)} \]

\[ y_A = 0,8 \sin{(10t)} \]

Теперь перейдем к точке \(M\), которая является средней точкой шатуна \(AB\). Из условия известно, что \(AB = 0,8\) м, следовательно, расстояние от \(A\) до \(M\) равно \(0,4\) м (половина длины шатуна).

Для определения координат точки \(M\), можно воспользоваться геометрией, описывающей шатунный механизм. В точке \(M\) среднее расстояние шатуна смещается относительно траектории точки \(A\). Чтобы подробно рассчитать движение точки \(M\), необходимо составить уравнения на основании механизмов или воспользоваться программными пакетами (например, MATLAB), и далее пользуемся следующей кинематикой.

2. Скорость точки \(M\)

Точка \(A\) движется по окружности, и ее мгновенная скорость \(v_A\) можно найти по формуле:

\[ v_A = \omega \cdot R \]

\[ v_A = 10 \cdot 0,8 = 8 \, \text{м/с} \]

Средняя точка \(M\), находящаяся на середине шатуна, движется сложным образом, и для её скорости пользуемся правилом сложения скоростей.