Определить уравнения движения, траекторию и скорость средней точки шатунного звена

Предмет: Теоретическая механика (раздел: кинематика механизма)

Задача относится к теме кинематики кривошипно-шатунного механизма, и требуется определить уравнения движения, траекторию и скорость средней точки шатунного звена.

Дано:

• Угловая скорость кривошипа $\text{(}\omega =10\text{рад/с}\text{)}$.
• Длина кривошипа $\text{(}OA=80\text{см}=0,8\text{м}\text{)}$.
• Длина шатуна $\text{(}AB=80\text{см}=0,8\text{м}\text{)}$.
• Точка $\text{(}M\text{)}$ — средняя точка шатуна.

Необходимо найти:

1. Уравнения движения точки $\text{(}M\text{)}$ (координаты $\text{(}{x}_M\text{)}$ и $\text{(}{y}_M\text{)}$).
2. Траекторию точки $\text{(}M\text{)}$.
3. Скорость средней точки $\text{(}M\text{)}$.

Решение:

1. Уравнения движения точки $\text{(}M\text{)}$

Для начала рассмотрим движения точек $\text{(}A\text{)}$ и $\text{(}M\text{)}$.

- Координаты точки $\text{(}A\text{)}$ при вращении кривошипа $\text{(}OA\text{)}$ (с углом $\text{(}\psi \text{)}$):

$\text{[}{x}_A=R\cos \psi ,y_A=R\sin \psi \text{]}$

где $\text{(}R=OA=0,8\text{м}\text{)}$, а $\text{(}\psi =\omega t\text{)}$.

Таким образом:

$\text{[}{x}_A=0,8\cos (10t)\text{]}$

$\text{[}{y}_A=0,8\sin (10t)\text{]}$

Теперь перейдем к точке $\text{(}M\text{)}$, которая является средней точкой шатуна $\text{(}AB\text{)}$. Из условия известно, что $\text{(}AB=0,8\text{)}$ м, следовательно, расстояние от $\text{(}A\text{)}$ до $\text{(}M\text{)}$ равно $\text{(}0,4\text{)}$ м (половина длины шатуна).

Для определения координат точки $\text{(}M\text{)}$, можно воспользоваться геометрией, описывающей шатунный механизм. В точке $\text{(}M\text{)}$ среднее расстояние шатуна смещается относительно траектории точки $\text{(}A\text{)}$. Чтобы подробно рассчитать движение точки $\text{(}M\text{)}$, необходимо составить уравнения на основании механизмов или воспользоваться программными пакетами (например, MATLAB), и далее пользуемся следующей кинематикой.

2. Скорость точки $\text{(}M\text{)}$

Точка $\text{(}A\text{)}$ движется по окружности, и ее мгновенная скорость $\text{(}{v}_A\text{)}$ можно найти по формуле:

$\text{[}{v}_A=\omega \cdot R\text{]}$

$\text{[}{v}_A=10\cdot 0,8=8\text{м/с}\text{]}$

Средняя точка $\text{(}M\text{)}$, находящаяся на середине шатуна, движется сложным образом, и для её скорости пользуемся правилом сложения скоростей.