Определить угол, который образует шнур с вертикалью

Условие:

Решить

Решение:

**Предмет:** Физика **Раздел:** Механика (Динамика вращательного движения) **Задача:** Имеется грузик, привязанный к шнуру длиной 0,5 м. Он совершает одно полное вращение в горизонтальной плоскости за 1 секунду. Нужно определить угол, который образует шнур с вертикалью. ### Шаг 1: Переход к физической модели Грузик совершает вращение в круге, при этом на него действуют две силы: - Сила тяжести \( mg \), направленная вертикально вниз. - Центростремительная сила \( F_\text{ц} \), действующая горизонтально. Эти силы создают равнодействующую, которая натягивает шнур, отклоняя его на некоторый угол \( \theta \) от вертикали. Наша цель — найти этот угол \( \theta \). ### Шаг 2: Законы движения Центростремительная сила связана с массой \( m \), радиусом окружности \( R \) и угловой скоростью \( \omega \): \[ F_\text{ц} = m \omega^2 R \] где: - \( R \) — радиус окружности, по которой движется груз, - \( \omega \) — угловая скорость. **Радиус \( R \):** Грузик описывает окружность в горизонтальной плоскости, и радиус \( R \) — это проекция длины шнура \( l = 0,5 \, \text{м} \) на горизонтальную ось. Радиус окружности зависит от угла \( \theta \): \[ R = l \sin \theta \] **Угловая скорость \( \omega \):** Грузик делает 1 оборот за 1 секунду, значит угловая скорость: \[ \omega = 2 \pi \, \text{рад/с} \] ### Шаг 3: Уравнение движения Для равновесия грузика в вертикальной плоскости, вертикальная составляющая натяжения шнура должна быть равно силе тяжести: \[ T \cos \theta = mg \] Где \( T \) — сила натяжения шнура. Для горизонтальной составляющей применяется уравнение для центростремительной силы: \[ T \sin \theta = m \omega^2 R \] ### Шаг 4: Решение системы уравнений Разделим одно уравнение на другое: \[ \frac{T \sin \theta}{T \cos \theta} = \frac{m \omega^2 R}{mg} \] Это упростится до: \[ \tan \theta = \frac{\omega^2 R}{g} \] Теперь заменим \( R \) на \( l \sin \theta \): \[ \tan \theta = \frac{\omega^2 l \sin \theta}{g} \] Подставим значения: \[ \tan \theta = \frac{(2 \pi)^2 \cdot 0,5 \cdot \sin \theta}{9,81} \] \[ \tan \theta = 4,03 \cdot \sin \theta \] Найдем угол \( \theta \) численно. Это можно сделать с помощью итерационного метода или численного решения. Примерное решение дает: \[ \theta \approx 48^\circ \] ### Ответ: Угол, который образует шнур с вертикалью, составляет приблизительно **48°**.