Определить угол, который образует шнур с вертикалью

Предмет: Физика Раздел: Механика (Динамика вращательного движения) Задача: Имеется грузик, привязанный к шнуру длиной 0,5 м. Он совершает одно полное вращение в горизонтальной плоскости за 1 секунду. Нужно определить угол, который образует шнур с вертикалью.

Шаг 1: Переход к физической модели

Грузик совершает вращение в круге, при этом на него действуют две силы:

• Сила тяжести \( mg \), направленная вертикально вниз.
• Центростремительная сила \( F_\text{ц} \), действующая горизонтально.

Эти силы создают равнодействующую, которая натягивает шнур, отклоняя его на некоторый угол \( \theta \) от вертикали. Наша цель — найти этот угол \( \theta \).

Шаг 2: Законы движения

Центростремительная сила связана с массой \( m \), радиусом окружности \( R \) и угловой скоростью \( \omega \):

\[ F_\text{ц} = m \omega^2 R \]

где:

• \( R \) — радиус окружности, по которой движется груз,
• \( \omega \) — угловая скорость.

Радиус \( R \): Грузик описывает окружность в горизонтальной плоскости, и радиус \( R \) — это проекция длины шнура \( l = 0,5 \, \text{м} \) на горизонтальную ось. Радиус окружности зависит от угла \( \theta \):

\[ R = l \sin \theta \]

Угловая скорость \( \omega \): Грузик делает 1 оборот за 1 секунду, значит угловая скорость:

\[ \omega = 2 \pi \, \text{рад/с} \]

Шаг 3: Уравнение движения

Для равновесия грузика в вертикальной плоскости, вертикальная составляющая натяжения шнура должна быть равно силе тяжести:

\[ T \cos \theta = mg \]

Где \( T \) — сила натяжения шнура. Для горизонтальной составляющей применяется уравнение для центростремительной силы:

\[ T \sin \theta = m \omega^2 R \]

Шаг 4: Решение системы уравнений

Разделим одно уравнение на другое:

\[ \frac{T \sin \theta}{T \cos \theta} = \frac{m \omega^2 R}{mg} \]

Это упростится до:

\[ \tan \theta = \frac{\omega^2 R}{g} \]

Теперь заменим \( R \) на \( l \sin \theta \):

\[ \tan \theta = \frac{\omega^2 l \sin \theta}{g} \]

Подставим значения:

\[ \tan \theta = \frac{(2 \pi)^2 \cdot 0,5 \cdot \sin \theta}{9,81} \]

\[ \tan \theta = 4,03 \cdot \sin \theta \]

Найдем угол \( \theta \) численно. Это можно сделать с помощью итерационного метода или численного решения. Примерное решение дает:

\[ \theta \approx 48^\circ \]

Ответ: Угол, который образует шнур с вертикалью, составляет приблизительно 48°.