Определить тангенциальное и нормальное ускорение камня, радиус кривизны траектории и угол между вектором полного ускорения и вектором скорости

Данная задача относится к разделу механики, к теме движение тела, брошенного горизонтально.

Условия задачи:

• Камень брошен горизонтально со скоростью \( v_0 = 15 \, \text{м/с} \).
• Время полёта \( t = 2,0 \, \text{с} \).
• Необходимо определить тангенциальное и нормальное ускорение камня, радиус кривизны траектории и угол между вектором полного ускорения и вектором скорости.

1. Тангенциальное ускорение \( a_{\tau} \)

Тангенциальное ускорение связано с изменением модуля скорости вдоль траектории. В случае горизонтального броска силы действуют только вертикально, то есть тангенциальное ускорение в этом случае равно нулю, так как горизонтальная составляющая скорости остаётся постоянной.

\[ a_{\tau} = 0 \]

2. Нормальное ускорение \( a_{n} \)

Для вычисления нормального ускорения используем формулу:

\[ a_{n} = \frac{v^2}{R} \]

где \( v \) — полная скорость тела, а \( R \) — радиус кривизны траектории.

Скорость движения камня можно разложить на горизонтальную и вертикальную составляющие:

• Горизонтальная скорость остаётся постоянной и равной \[ v_x = v_0 = 15 \, \text{м/с} \].
• Вертикальная скорость \( v_y \) изменяется с течением времени под действием силы тяжести. Её можно найти по формуле:

\[ v_y = g t \]

где \( g = 9{,}8 \, \text{м/с}^2 \) — ускорение свободного падения, \( t = 2{,}0 \, \text{с} \).

\[ v_y = 9{,}8 \, \text{м/с}^2 \times 2 \, \text{с} = 19{,}6 \, \text{м/с} \]

Теперь найдём полную скорость:

\[ v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(15 \, \text{м/с})^2 + (19{,}6 \, \text{м/с})^2} \]

\[ v = \sqrt{225 + 384{,}16} = \sqrt{609{,}16} \approx 24{,}68 \, \text{м/с} \]

3. Радиус кривизны траектории \( R \)

Для определения радиуса кривизны воспользуемся формулой:

\[ R = \frac{v^2}{a_y} \]

Вертикальное ускорение \( a_y = g = 9{,}8 \, \text{м/с}^2 \), так как оно обусловлено действием силы тяжести. Подставим значения:

\[ R = \frac{(24{,}68 \, \text{м/с})^2}{9{,}8 \, \text{м/с}^2} = \frac{609{,}16}{9{,}8} \approx 62{,}15 \, \text{м} \]

4. Полное ускорение \( a \)

Полное ускорение состоит только из нормальной составляющей, так как тангенциальное ускорение отсутствует.

Нормальное ускорение равно:

\[ a_n = \frac{v^2}{R} = \frac{(24{,}68 \, \text{м/с})^2}{62{,}15 \, \text{м}} = 9{,}8 \, \text{м/с}^2 \]

5. Угол между вектором полного ускорения и скоростью

Полное ускорение равно \( a_n = 9{,}8 \, \text{м/с}^2 \), оно направлено вертикально вниз в данной задаче. Скорость имеет горизонтальную и вертикальную составляющие. Угол между векторами ускорения и скорости можно найти через тангенс из их вертикальных и горизонтальных проекций.

Из тригонометрии:

\[ \tan \alpha = \frac{a_n}{v_x} = \frac{9{,}8}{15} \approx 0{,}653 \]

Найдём угол \( \alpha \):

\[ \alpha = \arctan(0{,}653) \approx 33{,}1^\circ \]

Ответ:

1. Тангенциальное ускорение: \( a_{\tau} = 0 \).
2. Нормальное ускорение: \( a_n = 9{,}8 \, \text{м/с}^2 \).
3. Радиус кривизны траектории: \( R \approx 62{,}15 \, \text{м} \).
4. Угол между вектором полного ускорения и скоростью: \( \alpha \approx 33{,}1^\circ \).