Определить тангенциальное и нормальное ускорение камня, радиус кривизны траектории и угол между вектором полного ускорения и вектором скорости

Условие:

Решить

Решение:

Данная задача относится к разделу **механики**, к теме **движение тела, брошенного горизонтально**. ### Условия задачи: - Камень брошен горизонтально со скоростью \( v_0 = 15 \, \text{м/с} \). - Время полёта \( t = 2,0 \, \text{с} \). - Необходимо определить тангенциальное и нормальное ускорение камня, радиус кривизны траектории и угол между вектором полного ускорения и вектором скорости. ### Решение: #### 1. Тангенциальное ускорение \( a_{\tau} \) Тангенциальное ускорение связано с изменением модуля скорости вдоль траектории. В случае горизонтального броска силы действуют только вертикально, то есть тангенциальное ускорение в этом случае равно нулю, так как горизонтальная составляющая скорости остаётся постоянной. \[ a_{\tau} = 0 \] #### 2. Нормальное ускорение \( a_{n} \) Для вычисления нормального ускорения используем формулу: \[ a_{n} = \frac{v^2}{R} \] где \( v \) — полная скорость тела, а \( R \) — радиус кривизны траектории. Скорость движения камня можно разложить на горизонтальную и вертикальную составляющие: - Горизонтальная скорость остаётся постоянной и равной \( v_x = v_0 = 15 \, \text{м/с} \). - Вертикальная скорость \( v_y \) изменяется с течением времени под действием силы тяжести. Её можно найти по формуле: \[ v_y = g t \] где \( g = 9{,}8 \, \text{м/с}^2 \) — ускорение свободного падения, \( t = 2{,}0 \, \text{с} \). \[ v_y = 9{,}8 \, \text{м/с}^2 \times 2 \, \text{с} = 19{,}6 \, \text{м/с} \] Теперь найдём полную скорость: \[ v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(15 \, \text{м/с})^2 + (19{,}6 \, \text{м/с})^2} \] \[ v = \sqrt{225 + 384{,}16} = \sqrt{609{,}16} \approx 24{,}68 \, \text{м/с} \] #### 3. Радиус кривизны траектории \( R \) Для определения радиуса кривизны воспользуемся формулой: \[ R = \frac{v^2}{a_y} \] Вертикальное ускорение \( a_y = g = 9{,}8 \, \text{м/с}^2 \), так как оно обусловлено действием силы тяжести. Подставим значения: \[ R = \frac{(24{,}68 \, \text{м/с})^2}{9{,}8 \, \text{м/с}^2} = \frac{609{,}16}{9{,}8} \approx 62{,}15 \, \text{м} \] #### 4. Полное ускорение \( a \) Полное ускорение состоит только из нормальной составляющей, так как тангенциальное ускорение отсутствует. Нормальное ускорение равно: \[ a_n = \frac{v^2}{R} = \frac{(24{,}68 \, \text{м/с})^2}{62{,}15 \, \text{м}} = 9{,}8 \, \text{м/с}^2 \] #### 5. Угол между вектором полного ускорения и скоростью Полное ускорение равно \( a_n = 9{,}8 \, \text{м/с}^2 \), оно направлено вертикально вниз в данной задаче. Скорость имеет горизонтальную и вертикальную составляющие. Угол между векторами ускорения и скорости можно найти через тангенс из их вертикальных и горизонтальных проекций. Из тригонометрии: \[ \tan \alpha = \frac{a_n}{v_x} = \frac{9{,}8}{15} \approx 0{,}653 \] Найдём угол \( \alpha \): \[ \alpha = \arctan(0{,}653) \approx 33{,}1^\circ \] ### Ответ: 1. Тангенциальное ускорение: \( a_{\tau} = 0 \). 2. Нормальное ускорение: \( a_n = 9{,}8 \, \text{м/с}^2 \). 3. Радиус кривизны траектории: \( R \approx 62{,}15 \, \text{м} \). 4. Угол между вектором полного ускорения и скоростью: \( \alpha \approx 33{,}1^\circ \).