Определить скорость тела у основания плоскости

Предмет: Физика

Раздел: Механика (Кинематика и работа сил)

Условие:

С вершины наклонной плоскости длиной 10 м и высотой 5 м начинает двигаться тело без начальной скорости. Определить скорость тела у основания плоскости. Коэффициент трения \(\mu = 0{,}2\).

Решение:

Шаг 1. Анализ сил и энергии на наклонной плоскости

На тело действуют:

1. Сила тяжести \(F_{g} = mg\), которая разлагается на две составляющие:
   • Компонента вдоль плоскости: \(F_{g \parallel} = mg \sin \alpha\),
   • Компонента, перпендикулярная плоскости: \(F_{g \perp} = mg \cos \alpha\).
2. Сила трения: \(F_{\text{тр}} = \mu N = \mu mg \cos \alpha\).

Шаг 2. Определение угла наклона плоскости

Из геометрии треугольника со сторонами:

• Длина плоскости \(l = 10 \, \text{м}\),
• Высота \(h = 5 \, \text{м}\),

находим угол наклона \(\alpha\) через синус:

\[\sin \alpha = \frac{h}{l} = \frac{5}{10} = 0{,}5 \quad \Rightarrow \quad \alpha \approx 30^\circ.\]
\[\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - 0{,}5^2} = \sqrt{0{,}75} \approx 0{,}866.\]

Шаг 3. Уравнение движения через силы

Суммарная сила вдоль плоскости:

\[F_{\text{сум}} = F_{g \parallel} - F_{\text{тр}} = mg \sin \alpha - \mu mg \cos \alpha.\]

Ускорение тела:

\[a = \frac{F_{\text{сум}}}{m} = g (\sin \alpha - \mu \cos \alpha).\]

Подставим значения:

\[a = 9{,}8 \cdot (0{,}5 - 0{,}2 \cdot 0{,}866) = 9{,}8 \cdot (0{,}5 - 0{,}1732) = 9{,}8 \cdot 0{,}3268 \approx 3{,}2 \, \text{м/с}^2.\]

Шаг 4. Поиск скорости тела у основания

Используем формулу кинематики:

\[v^2 = v_0^2 + 2 a l,\]
где \(v_0 = 0\), \(l = 10 \, \text{м}\), \(a = 3{,}2 \, \text{м/с}^2\).

\[v^2 = 0 + 2 \cdot 3{,}2 \cdot 10 = 64 \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt{64} = 8 \, \text{м/с}.\]

Ответ:

Скорость тела у основания плоскости составляет 8 м/с.