Определить сколько оборотов в секунду будет делать платформа,если расстояние человека от центра станет равным R, м

Предмет: Физика

Раздел предмета: Механика, динамика вращательного движения, закон сохранения момента импульса.

Задание:

У нас есть вращающаяся платформа, на которой стоит человек. Платформа вращается с частотой 5 оборотов в секунду. Когда человек перемещается дальше от центра платформы, нам нужно выяснить, с какой частотой она будет вращаться. Для решения применим закон сохранения момента импульса. Он гласит, что в замкнутой системе (без внешних моментов сил) момент импульса сохраняется.

Обозначим важные величины:

• Момент импульса \( L \) определяется как произведение момента инерции \( I \) на угловую скорость \( \omega \): \( L = I \cdot \omega \)
• Частота вращения, заданная в задаче, равна \( \nu = 5 \text{ об/с} \). Угловая скорость \( \omega \) связана с частотой вращения как: \( \omega = 2\pi \cdot \nu \)
• Масса платформы \( m_{\text{пл}} = 100 \ \text{кг} \).
• Масса человека \( m_{\text{ч}} = 60 \ \text{кг} \).
• R радиус платформы.

Шаг 1. Определим момент инерции системы

Момент инерции платформы относительно оси вращения:

Платформа представляет собой однородный диск, и её момент инерции записывается как: \[ I_{\text{пл}} = \frac{1}{2} m_{\text{пл}} R^2 \]

Момент инерции человека относительно оси вращения:

Человек стоит на платформе на расстоянии \(R/3\) от центра. Поскольку человек — это "точечная" масса, момент инерции человека будет: \[ I_{\text{ч1}} = m_{\text{ч}} \left(\frac{R}{3}\right)^2 = m_{\text{ч}} \cdot \frac{R^2}{9} \]

Таким образом, начальный момент инерции системы (платформа + человек): \[ I_{\text{нач}} = I_{\text{пл}} + I_{\text{ч1}} = \frac{1}{2} m_{\text{пл}} R^2 + m_{\text{ч}} \frac{R^2}{9} \]

Подставляем данные: \[ I_{\text{нач}} = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot R^2 + 60 \cdot \frac{R^2}{9} = 50R^2 + \frac{60R^2}{9} \]

Приведём к общему знаменателю: \[ I_{\text{нач}} = 50R^2 + \frac{540R^2}{9} = \frac{450R^2 + 60R^2}{9} = \frac{510R^2}{9} \]

Шаг 2. Момент инерции после перемещения человека

Теперь человек переместился на расстояние \( R \) от центра платформы. Новый момент инерции человека будет: \[ I_{\text{ч2}} = m_{\text{ч}} R^2 \]

Теперь момент инерции системы будет: \[ I_{\text{кон}} = I_{\text{пл}} + I_{\text{ч2}} = \frac{1}{2} m_{\text{пл}} R^2 + m_{\text{ч}} R^2 = 50R^2 + 60R^2 = 110R^2 \]

Шаг 3. Закон сохранения момента импульса

По закону сохранения момента импульса начальный момент импульса равен конечному: \[ I_{\text{нач}} \cdot \omega_{\text{нач}} = I_{\text{кон}} \cdot \omega_{\text{кон}} \]

Частота \( \nu \) связана с угловой скоростью \( \omega \) по формуле \( \omega = 2\pi \nu \). Следовательно, можем записать: \[ I_{\text{нач}} \cdot \nu_{\text{нач}} = I_{\text{кон}} \cdot \nu_{\text{кон}} \]

Подставляем начальные и конечные моменты инерции, а также начальную частоту: \[ \frac{510R^2}{9} \cdot 5 = 110R^2 \cdot \nu_{\text{кон}} \]

Сокращаем на \( R^2 \): \[ \frac{510}{9} \cdot 5 = 110 \cdot \nu_{\text{кон}} \]

Решаем уравнение: \[ \nu_{\text{кон}} = \frac{\frac{510}{9} \cdot 5}{110} = \frac{2550}{990} \]

Сокращаем: \[ \nu_{\text{кон}} = \frac{85}{33} \approx 2.58 \ \text{об/с} \]

Ответ:

Когда человек переместится на расстояние \( R \) от центра, платформа будет вращаться с частотой примерно 2.58 об/с.