Определить с какой скоростью должен быть брошен камень, чтобы он упал на гору на расстоянии 200 м от вершины

Предмет: Физика. Раздел: Механика, а именно кинематика.

Речь идет о движении тела (камня) в поле тяжести Земли, с горизонтальной начальной скоростью и с уклоном поверхности.

1. Определим координаты движения

В задаче нам сказано, что камень бросают горизонтально со вершины горы, имеющей уклон в 30°. Пусть точка броска находится в координате \( (0, 0) \), тогда координаты любой дальнейшей точки на наклонной поверхности \( y = x \cdot \tan(30^\circ) \), где \( \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \).

Известно, что камень бросают с горизонтальной начальной скоростью \( V_0 \). Его движения можно описать двумя уравнениями для проекций на ось \( x \) и ось \( y \):

• По оси \( x \) (горизонтальная часть движения):
  • Камень движется с постоянной скоростью \( V_x = V_0 \).
  • Уравнение движения: \( x = V_0 \cdot t \), где \( t \) — время полета.
• По оси \( y \) (вертикальная часть движения):
  • Камень движется с постоянным ускорением \( g \). Начальной скорости по оси \( y \) нет, так как камень брошен горизонтально.
  • Уравнение движения: \( y = \frac{1}{2} g t^2 \).

Нашей задачей является нахождение такой скорости \( V_0 \), чтобы камень упал на уклон горы через \( 200 \, \text{м} \) по горизонтали.

2. Условие попадания на поверхность горы

Поверхность горы имеет уравнение \( y = x \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \). С другой стороны, вертикальное положение камня \( y \) в момент времени \( t \) будет:

\[ y = \frac{1}{2} g t^2. \]

Также, в момент времени \( t \), его горизонтальная позиция по оси \( x \) будет:

\[ x = V_0 \cdot t. \]

3. Подставим уравнения друг в друга

Поскольку камень при падении должен находиться на поверхности горы, уравнение траектории камня можно приравнять к уравнению поверхности горы.

\[ \frac{1}{2} g t^2 = V_0 \cdot t \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}. \]

Сократим на \( t \) (при \( t \neq 0 \)):

\[ \frac{1}{2} g t = V_0 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}. \]

Отсюда выразим время полета \( t \):

\[ t = \frac{2 V_0}{g \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} } = \frac{2 V_0 \sqrt{3}}{g}. \]

4. Подставим значение горизонтального расстояния

Горизонтальное расстояние, через которое камень падает на гору, равно \( x = 200 \, \text{м} \). Тогда:

\[ x = V_0 \cdot t = V_0 \cdot \frac{2 V_0 \sqrt{3}}{g}. \]

Подставляем \( x = 200 \, \text{м} \):

\[ 200 = V_0 \cdot \frac{2 V_0 \sqrt{3}}{g}. \]

Решим это уравнение относительно \( V_0 \):

\[ 200 = \frac{2 V_0^2 \sqrt{3}}{g}, \]

\[ V_0^2 = \frac{200 g}{2 \sqrt{3}} = \frac{100 g}{\sqrt{3}}. \]

Теперь подставим \( g = 9.8 \, \text{м/с}^2 \):

\[ V_0^2 = \frac{100 \cdot 9.8}{\sqrt{3}} \approx 566.67, \]

\[ V_0 = \sqrt{566.67} \approx 23.8 \, \text{м/с}. \]

Ответ:

Камень должен быть брошен с начальной скоростью приблизительно \( 23.8 \, \text{м/с} \), чтобы упасть на гору на расстоянии \( 200 \, \text{м} \) от вершины.