Определить неизвестную величину

Предмет: Физика
Раздел: Механика, колебания и волны (затухающие колебания)

Дано:
Гиря массой m, прикрепленная к пружине жесткостью k, совершает затухающие колебания в вязкой среде. Через время t амплитуда колебаний уменьшилась в n раз. Логарифмический коэффициент затухания — \lambda. Затухание считать слабым.

Формулы и теория:

Для затухающих колебаний амплитуда убывает по закону:
A(t) = A_0 e^{-\lambda \omega_0 t},
где \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} — собственная частота колебаний.

Логарифмический коэффициент затухания связан с уменьшением амплитуды так:
\frac{A_0}{A(t)} = n = e^{\lambda \omega_0 t}
Отсюда:
\ln n = \lambda \omega_0 t
\Rightarrow \omega_0 = \frac{\ln n}{\lambda t}

Так как \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}, то:
\sqrt{\frac{k}{m}} = \frac{\ln n}{\lambda t}
Отсюда:
k = m \left(\frac{\ln n}{\lambda t}\right)^2
или
m = \frac{k}{\left(\frac{\ln n}{\lambda t}\right)^2} = k \left(\frac{\lambda t}{\ln n}\right)^2

Также можно выразить время t:
t = \frac{\ln n}{\lambda \sqrt{\frac{k}{m}}}

Решение для заданий из таблицы:

Шифр 2: Найти m

Дано:
k = 12 \, Н/м,
t = 31 \, с,
n = 3,
\lambda = 0.025.

Вычислим m:

m = k \left(\frac{\lambda t}{\ln n}\right)^2

Считаем:

\ln 3 \approx 1.0986

m = 12 \times \left(\frac{0.025 \times 31}{1.0986}\right)^2 = 12 \times \left(\frac{0.775}{1.0986}\right)^2 = 12 \times (0.705)^2 = 12 \times 0.497 = 5.96 \, кг

Ответ: m \approx 6.0 \, кг

Шифр 1: Найти k

Дано:
m = 0.20 \, кг,
t = 65 \, с,
n = 4,
\lambda = 0.012.

Вычислим k:

k = m \left(\frac{\ln n}{\lambda t}\right)^2

\ln 4 = 1.3863

k = 0.20 \times \left(\frac{1.3863}{0.012 \times 65}\right)^2 = 0.20 \times \left(\frac{1.3863}{0.78}\right)^2 = 0.20 \times (1.777)^2 = 0.20 \times 3.16 = 0.63 \, Н/м

Ответ: k \approx 0.63 \, Н/м

Шифр 3: Найти t

Дано:
m = 0.10 \, кг,
k = 15 \, Н/м,
n = 2,
\lambda = 0.0062.

Вычислим t:

t = \frac{\ln n}{\lambda \sqrt{\frac{k}{m}}}

\ln 2 = 0.6931

\sqrt{\frac{15}{0.10}} = \sqrt{150} \approx 12.247

t = \frac{0.6931}{0.0062 \times 12.247} = \frac{0.6931}{0.0759} \approx 9.13 \, с

Ответ: t \approx 9.1 \, с

Шифр 4: Найти \lambda

Дано:
m = 0.051 \, кг,
k = 10 \, Н/м,
t = 90 \, с,
n = 3.

Вычислим \lambda:

\lambda = \frac{\ln n}{\omega_0 t} = \frac{\ln n}{t \sqrt{\frac{k}{m}}}

\ln 3 = 1.0986

\sqrt{\frac{10}{0.051}} = \sqrt{196.08} \approx 14.0

\lambda = \frac{1.0986}{90 \times 14.0} = \frac{1.0986}{1260} \approx 0.000872

Ответ: \lambda \approx 8.7 \times 10^{-4}

Шифр 5: Найти n

Дано:
m = 0.17 \, кг,
k = 20 \, Н/м,
t = 24 \, с,
\lambda = 0.017.

Вычислим n:

n = e^{\lambda \omega_0 t} = e^{\lambda t \sqrt{\frac{k}{m}}}

\sqrt{\frac{20}{0.17}} = \sqrt{117.65} \approx 10.85

\lambda t \sqrt{\frac{k}{m}} = 0.017 \times 24 \times 10.85 = 0.017 \times 260.4 = 4.43

n = e^{4.43} \approx 84.1

Ответ: n \approx 84

Если нужно, могу подробно расписать решение по каждому пункту.