Предмет: Физика
Раздел: Механика (Статика жидкостей и газов, Архимедова сила)
Задание:
Необходимо определить наибольший объем льдины, плавающей в воде, если алюминиевый брусок объемом 0,1 \, \text{м}^3 вызывает ее полное погружение в воду. Даны плотности льда и алюминия.
Дано:
- Объем алюминиевого бруска V_{\text{Al}} = 0.1 \, \text{м}^3;
- Плотность льда \rho_{\text{лед}} = 900 \, \text{кг/м}^3;
- Плотность алюминия \rho_{\text{Al}} = 2.7 \times 10^3 \, \text{кг/м}^3;
- Плотность воды \rho_{\text{вода}} = 1000 \, \text{кг/м}^3 (стандартное значение для чистой воды).
Решение:
Когда льдина с алюминиевым бруском плавает в воде, на нее действует сила тяжести, которая вызывается льдиной и бруском, а также архимедова сила, действующая со стороны воды.
- Масса алюминиевого бруска:
Масса бруска m_{\text{Al}} вычисляется так:
m_{\text{Al}} = \rho_{\text{Al}} \cdot V_{\text{Al}}
Подставляем данные:
m_{\text{Al}} = 2.7 \times 10^3 \, \text{кг/м}^3 \times 0.1 \, \text{м}^3 = 270 \, \text{кг}
- Масса льдины:
Обозначим объем льдины как V_{\text{лед}}. Тогда ее масса m_{\text{лед}} определяется через плотность и объем льда:
m_{\text{лед}} = \rho_{\text{лед}} \cdot V_{\text{лед}}
Подставим плотность льда:
m_{\text{лед}} = 900 \, \text{кг/м}^3 \cdot V_{\text{лед}}
- Полное погружение льдины:
Для того чтобы льдина с бруском была полностью погружена, сила тяжести, которая вызывается массами льдины и бруска, должна быть равна архимедовой силе, которая возникает из-за вытесненного объема воды (равного объему льдины):
(m_{\text{лед}} + m_{\text{Al}})g = \rho_{\text{вода}} \cdot (V_{\text{лед}}) \cdot g
Ускорение свободного падения g сокращается, и получаем:
m_{\text{лед}} + m_{\text{Al}} = \rho_{\text{вода}} \cdot V_{\text{лед}}
Подставим m_{\text{лед}} = \rho_{\text{лед}} \cdot V_{\text{лед}} и массу алюминия:
\rho_{\text{лед}} \cdot V_{\text{лед}} + 270 \, \text{кг} = \rho_{\text{вода}} \cdot V_{\text{лед}}
- Решение уравнения:
Подставим числа:
900 \cdot V_{\text{лед}} + 270 = 1000 \cdot V_{\text{лед}}
Переносим все члены уравнения, содержащие V_{\text{лед}}, в одну часть:
1000 \cdot V_{\text{лед}} - 900 \cdot V_{\text{лед}} = 270
Приведем подобные:
100 \cdot V_{\text{лед}} = 270
Найдем объем льдины V_{\text{лед}}:
V_{\text{лед}} = \frac{270}{100} = 2.7 \, \text{м}^3
Ответ: