Определить на какое расстояние сместится нижний конец стержня, когда он упадет

Предмет: Физика

Раздел: Механика, Раздел динамики — Движение твердого тела (Падение твердого тела)

Задана классическая задача на динамику твердого тела: стержень закреплен одним концом на нити, и он находился в равновесии под углом к горизонтальной поверхности. После того как нить пережгли, стержень начинает падать, и нам нужно определить, на какое расстояние сместится его нижний конец по горизонтали при полном падении на землю.

Исходные данные:

• Длина стержня \(L = 1 \, м\).
• Угол наклона стержня с горизонтальной поверхностью \(\alpha = 60^\circ \).
• Гладкая поверхность: значит, силы трения можно не учитывать.
• До начала падения нижний конец стержня находился в контакте с этой поверхностью.

Разбор задачи:

1. Предположение об отсутствии трения: Так как поверхность гладкая, мы предполагаем, что нижний конец стержня, пока нить удерживает стержень, неподвижен. Однако, после пережигания нити, когда стержень начнет падать, его движением будет управлять сила тяжести и возможные реакции опоры.
2. Движение центра масс стержня: Падение — это вращательное движение вокруг нижнего конца стержня. Центральный конец стержня падает под действием силы тяжести — это будет свободное вращение вокруг оси, проходящей через точку контакта стержня с гладкой поверхностью.
3. Закон сохранения энергии: В процессе падения стержня совершается переход потенциальной энергии в кинетическую. Начальное положение — это ситуация, когда стержень наклонен, а конечное — когда он лежит на земле. Принципиальным является то, что для однородного стержня центр масс находится посередине, на расстоянии \(L/2\) от обоих концов.
4. Заметим важное: На промежуточных этапах падения стержня его нижний конец также начнет двигаться по горизонтали. В конечном счёте, нам нужно найти это конечное смещение.

Выполнение решения:

Найдём горизонтальное смещение нижнего конца стержня до момента падения на землю. Для решения используем закон сохранения энергии и геометрическую логику.

1. Начальная позиция нижнего конца: Нижний конец стержня до падения касался опорной поверхности и находился в начальной точке \(x_0 = 0\).
2. Определение координат конца стержня в момент его падения: В начальный момент времени верхний конец стержня находится в положении, определённом длиной стержня и углом: \[ (x_1, y_1) = \left(L\cos(\alpha), L\sin(\alpha) \right) \] Подставляя угол \( \alpha = 60^\circ\) и длину стержня \(L = 1 \, м\): \[ \cos(60^\circ) = 0.5, \quad \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Значит, координаты верхнего конца стержня до падения: \[ (x_1, y_1) = (0.5, 0.866) \]
3. Когда стержень упадёт: В состоянии, когда стержень полностью лежит на земле, его верхний конец перемещается в горизонтальное положение на расстояние, равное длине стержня: \[ (x_2, y_2) = (1, 0) \]
4. Горизонтальное смещение: Горизонтальное смещение нижнего конца будет равно изменению \(x\)-координаты верхнего конца стержня от его начальной позиции до конечной: \[ \Delta x = x_2 - x_1 = 1 - 0.5 = 0.5 \, м \]

Ответ:

Нижний конец стержня сместится на 0.5 м по горизонтали.