Определить на какое расстояние сместится лодка относительно воды, если рыбаки пройдут по лодке и поменяются местами

Условие:

Лодка длиной 3 м и массой 120 кг стоит на спокойной воде. На носу и корме находятся два рыбака массой 90 кг и 60 кг. На какое расстояние сместится лодка относительно воды, если рыбаки пройдут по лодке и поменяются местами? Сопротивлением воды пренебречь.

Решение:

**Предмет:** Физика **Раздел:** Механика, Раздел динамики: Законы сохранения (импульса, движения центра масс) ### Условие: * Лодка длиной \(L = 3\) м, массой \( m_{\text{лодки}} = 120 \) кг. * Два рыбака: один массой \( m_1 = 90 \) кг на носу, другой массой \( m_2 = 60 \) кг на корме. * Рыбаки идут по лодке и меняются местами. * Задача — выяснить, на какое расстояние сместится лодка относительно воды, если сопротивления воды игнорировать. ### Рассуждение: Нам поможет закон сохранения импульса в системе, где внешние силы отсутствуют (сила сопротивления воды мы пренебрегаем). Согласно этому закону, центр масс системы «рыбаки + лодка» не меняет своего положения относительно воды. #### 1. **Найдем центр масс системы до того, как рыбаки поменялись местами.** Возьмём начало координат на середине лодки. - Положение центра масс лодки (так как лодка однородна): \[ x_{\text{лодки}} = 0 \, \text{м} \quad (\text{от середины лодки}) \] - Положение рыбаков: - Рыбак 1 с массой \( 90 \, \text{кг} \) сидит на носу лодки, т.е. его координата \( x_1 = 1.5 \, \text{м} \). - Рыбак 2 с массой \( 60 \, \text{кг} \) сидит на корме, его координата \( x_2 = -1.5 \, \text{м} \). Теперь находим исходное положение центра масс всей системы: \[ x_{\text{цм_до}} = \frac{m_{\text{лодки}} \cdot x_{\text{лодки}} + m_1 \cdot x_1 + m_2 \cdot x_2}{m_{\text{лодки}} + m_1 + m_2} \] Подставляем значения: \[ x_{\text{цм_до}} = \frac{120 \cdot 0 + 90 \cdot 1.5 + 60 \cdot (-1.5)}{120 + 90 + 60} \] \[ x_{\text{цм_до}} = \frac{0 + 135 - 90}{270} \] \[ x_{\text{цм_до}} = \frac{45}{270} \approx 0.167 \, \text{м} \] #### 2. **Положение центра масс после того, как рыбаки поменялись местами.** Теперь рыбак 1 окажется на корме с координатой \( -1.5 \text{ м} \), а рыбак 2 на носу с координатой \( 1.5 \text{ м} \). Центр масс системы: \[ x_{\text{цм_после}} = \frac{m_{\text{лодки}} \cdot x_{\text{лодки}} + m_1 \cdot (-1.5) + m_2 \cdot 1.5}{m_{\text{лодки}} + m_1 + m_2} \] Подставляем значения: \[ x_{\text{цм_после}} = \frac{120 \cdot 0 + 90 \cdot (-1.5) + 60 \cdot 1.5}{120 + 90 + 60} \] \[ x_{\text{цм_после}} = \frac{0 - 135 + 90}{270} \] \[ x_{\text{цм_после}} = \frac{-45}{270} \approx -0.167 \, \text{м} \] #### 3. **Смещение лодки.** Центр масс относительно воды остаётся неизменным. Однако, чтобы рыбаки сменили свои места, лодка будет двигаться, и это движение компенсирует изменения положения рыбаков. Разность положений центра масс до и после изменений: \[ |x_{\text{цм_до}} - x_{\text{цм_после}}| = |0.167 - (-0.167)| = 0.334 \text{ м} \] Таким образом, лодка сместится относительно воды на **0.334 метра**.