Определить момент инерции однородного стержия массой m и длиной l относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей на расстоянии 1/3 длины стержня от одного из его концов?

Предмет: Физика
Раздел: Механика, динамика вращательного движения

Для решения задачи определим момент инерции однородного стержня относительно оси, используя теорему Гюйгенса-Штейнера.

Дано:

• Масса стержня: [m],
• Длина стержня: [l],
• Ось перпендикулярна стержню и проходит на расстоянии [\frac{l}{3}] от одного из концов.

Формула момента инерции:

Момент инерции для стержня относительно оси, не проходящей через его центр масс, вычисляется с использованием теоремы Гюйгенса-Штейнера:

[I = I_{\text{CM}} + m d^2],

где:

• [I_{\text{CM}}] — момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его центр масс,
• [m] — масса стержня,
• [d] — расстояние между осью вращения и центром масс стержня.

Шаг 1: Момент инерции стержня относительно центра масс

Для однородного стержня длиной [l], момент инерции относительно оси, проходящей через его центр масс и перпендикулярной стержню, равен:
[I_{\text{CM}} = \frac{1}{12} m l^2].

Шаг 2: Расстояние от центра масс до новой оси

Центр масс стержня находится посередине, то есть на расстоянии [\frac{l}{2}] от одного из концов. Новая ось расположена на расстоянии [\frac{l}{3}] от одного из концов. Таким образом, расстояние от центра масс до новой оси:
[d = \left| \frac{l}{2} - \frac{l}{3} \right| = \frac{l}{6}].

Шаг 3: Применение теоремы Гюйгенса-Штейнера

Подставляем значения в формулу:
[I = I_{\text{CM}} + m d^2].

Подставляем [I_{\text{CM}}] и [d]:
[I = \frac{1}{12} m l^2 + m \left( \frac{l}{6} \right)^2].

Вычисляем:
[I = \frac{1}{12} m l^2 + m \cdot \frac{l^2}{36}],
[I = \frac{1}{12} m l^2 + \frac{1}{36} m l^2].

Приводим к общему знаменателю:
[I = \frac{3}{36} m l^2 + \frac{1}{36} m l^2 = \frac{4}{36} m l^2 = \frac{1}{9} m l^2].

Ответ:

Момент инерции стержня относительно заданной оси равен:
[I = \frac{1}{9} m l^2].