Определить минимальную скорость, которую нужно сообщить шарику для совершения полного оборота вокруг точки подвеса

Предмет: Физика

Раздел: Механика, Динамика вращательного движения

Задача: Определить минимальную скорость, которую нужно сообщить шарику для совершения полного оборота вокруг точки подвеса (внешняя динамика маятника).

Разбор задачи

Рассмотрим:

• Шарик массой \( m \) подвешен на нити длиной \( L = 1 \, \text{м} \).
• Шарику сообщается некоторая начальная скорость \( v_{\text{min}} \) в горизонтальном направлении, так что он должен совершить полный оборот.

Чтобы шарик смог совершить полный оборот, ему нужна достаточная кинетическая энергия для того, чтобы, во-первых, достичь самой верхней точки траектории, и, во-вторых, чтобы в этой верхней точке удержаться на нити.

Шаг 1: Условия для движения в верхней точке

В самой верхней точке силы будут действовать следующим образом:

1. Сила тяжести \( mg \) будет направлена вниз.
2. Центростремительная сила, необходимая для кругового движения, поддерживается натяжением нити и силой тяжести.

На верхней точке нить может быть натянута, но минимальная скорость достигается тогда, когда натяжение \( T \) нити равно нулю. То есть всё удержание обеспечивается силой тяжести.

Из второго закона Ньютона для движения шарика в верхней точке:

\[\frac{m v_{\text{верх}}^2}{L} = mg\]

откуда:

\[v_{\text{верх}}^2 = gL\]

\[v_{\text{верх}} = \sqrt{gL}\]

где \( g = 9.8 \, \text{м}/\text{с}^2 \) – ускорение свободного падения.

Подставляем \( L = 1 \, \text{м} \):

\[v_{\text{верх}} = \sqrt{9.8 \times 1} = \sqrt{9.8} \approx 3.13 \, \text{м}/\text{с}\]

Таким образом, в верхней точке скорость должна быть не менее \( 3.13 \, \text{м}/\text{с} \).

Шаг 2: Применение закона сохранения механической энергии

Энергия в нижней точке и в верхней точке должна сохраняться. В нижней точке у шарика есть кинетическая энергия, а в верхней точке будет и кинетическая, и потенциальная.

Используя закон сохранения энергии:

\[E_{\text{нач}} = E_{\text{верх}}\]

\[\frac{mv_{\text{нач}}^2}{2} = \frac{mv_{\text{верх}}^2}{2} + mg \cdot 2L\]

Здесь \( 2L \) — это высота, на которой находится шарик в верхней точке относительно нижней.

Подставляем выражения:

\[\frac{v_{\text{нач}}^2}{2} = \frac{gL}{2} + 2gL\]

Сложим правую часть:

\[\frac{v_{\text{нач}}^2}{2} = \frac{gL}{2} + \frac{4gL}{2} = \frac{5gL}{2}\]

Отсюда:

\[v_{\text{нач}}^2 = 5gL\]

\[v_{\text{нач}} = \sqrt{5gL}\]

Подставляем числа:

\[v_{\text{нач}} = \sqrt{5 \times 9.8 \times 1} = \sqrt{49} = 7 \, \text{м}/\text{с}\]

Ответ:

Минимальная скорость, которую нужно сообщить шарику в горизонтальном направлении, чтобы он совершил полный оборот вокруг точки подвеса, равна \( **7 \, \text{м}/\text{с}** \).