Определить КПД удара, если удар неупругий

Предмет: Физика
Раздел: Механика, законы сохранения энергии и импульса

Дано:

• Масса молота: m_1 = 8 кг
• Масса наковальни: m_2 = 300 кг
• Удар неупругий (значит, после удара молот и наковальня движутся вместе)
• Полезной считать энергию, затраченную на деформацию

Решение:

При неупругом ударе выполняется закон сохранения импульса:

m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) v

Так как наковальня до удара покоилась (v_2 = 0), то уравнение примет вид:

m_1 v_1 = (m_1 + m_2) v

Отсюда выражаем скорость системы после удара:

v = \frac{m_1 v_1}{m_1 + m_2}

Кинетическая энергия молота до удара:

E_{\text{до}} = \frac{1}{2} m_1 v_1^2

Кинетическая энергия системы после удара:

E_{\text{после}} = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v^2

Подставим выражение для v:

E_{\text{после}} = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) \left(\frac{m_1 v_1}{m_1 + m_2}\right)^2

Упрощаем:

E_{\text{после}} = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) \frac{m_1^2 v_1^2}{(m_1 + m_2)^2}

E_{\text{после}} = \frac{1}{2} \frac{m_1^2 v_1^2}{m_1 + m_2}

Потери энергии на деформацию:

E_{\text{потеря}} = E_{\text{до}} - E_{\text{после}}

E_{\text{потеря}} = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 - \frac{1}{2} \frac{m_1^2 v_1^2}{m_1 + m_2}

Вынесем общий множитель:

E_{\text{потеря}} = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 \left(1 - \frac{m_1}{m_1 + m_2}\right)

E_{\text{потеря}} = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 \frac{m_2}{m_1 + m_2}

КПД удара определяется как отношение полезной энергии (энергии, затраченной на деформацию) к начальной энергии:

\eta = \frac{E_{\text{потеря}}}{E_{\text{до}}} \times 100\%

\eta = \frac{\frac{1}{2} m_1 v_1^2 \frac{m_2}{m_1 + m_2}}{\frac{1}{2} m_1 v_1^2} \times 100\%

Сокращаем:

\eta = \frac{m_2}{m_1 + m_2} \times 100\%

Подставляем значения:

\eta = \frac{300}{8 + 300} \times 100\% = \frac{300}{308} \times 100\% \approx 97.4\%

Ответ:

КПД удара составляет 97.4%.