Определить количество оборотов платформы в секунду после перемещения человека

Предмет и раздел

Данный вопрос относится к физике, а именно к разделу механика, подраздел динамика и законы сохранения (закон сохранения момента импульса).

---

Условие задачи

• Масса платформы $\text{(}M=100\text{кг}\text{)}$.
• Масса человека $\text{(}m=60\text{кг}\text{)}$.
• Начальная угловая скорость $\text{(}{\omega }_1=0.5\text{об/с}\text{)}$ (переведем это в радианы позже).
• Начальное положение человека: $\text{(}{R}_1=\frac{R}{3}\text{)}$.
• Конечное положение человека: $\text{(}{R}_2=R\text{)}$.
• Нужно определить количество оборотов платформы $\text{(}{f}_2\text{)}$ в секунду после перемещения человека.

---

Решение

Основной принцип, который будем использовать, — закон сохранения момента импульса:

$\text{[}{L}_1=L_2\text{]}$

где $\text{(}L\text{)}$ — момент импульса.

---

1. Напишем момент импульса системы

Момент инерции платформы $\text{(}{I}_{\text{платформа}}=M\cdot \frac{R^2}{2}\text{)}$, потому что это диск.

Момент инерции человека $\text{(}{I}_{\text{человек}}=m\cdot r^2\text{)}$, где $\text{(}r\text{)}$ — расстояние от центра вращения до человека.

Суммарный момент инерции системы:

$\text{[}{I}_{\text{общий}}=I_{\text{платформа}}+I_{\text{человек}}\text{]}$

---

2. В начальном состоянии (момент $\text{(}{L}_1\text{)}$)

В начальном состоянии человек находится на расстоянии $\text{(}{R}_1=\frac{R}{3}\text{)}$.

Момент инерции человека:

$\text{[}{I}_{\text{человек,1}}=m\cdot R_1^2=m\cdot {\left(\frac{R}{3}\right)}^2=m\cdot \frac{R^2}{9}\text{]}$

Момент инерции платформы:

$\text{[}{I}_{\text{платформа,1}}=I_{\text{платформа}}=M\cdot \frac{R^2}{2}\text{]}$

Общий момент инерции:

$\text{[}{I}_1=I_{\text{платформа}}+I_{\text{человек,1}}=M\cdot \frac{R^2}{2}+m\cdot \frac{R^2}{9}\text{]}$

Вынесем $\text{(}{R}^2\text{)}$ за скобку:

$\text{[}{I}_1=\frac{R^2}{2}\cdot M+\frac{R^2}{9}\cdot m=R^2(\frac{M}{2}+\frac{m}{9})\text{]}$

Рассчитываем значение:

$\text{[}{I}_1=R^2(\frac{100}{2}+\frac{60}{9})=R^2(50+6.67)=R^2\cdot 56.67\text{]}$

Момент импульса:

$\text{[}{L}_1=I_1\cdot {\omega }_1\text{]}$

Угловая скорость $\text{(}{\omega }_1\text{)}$ в радианах в секунду:

$\text{[}{\omega }_1=0.5\cdot 2\pi =\pi \text{рад/с}\text{]}$

Подставляем:

$\text{[}{L}_1=R^2\cdot 56.67\cdot \pi \text{]}$

---

3. В конечном состоянии (момент $\text{(}{L}_2\text{)}$)

После того как человек переместился, его расстояние от центра стало $\text{(}{R}_2=R\text{)}$.

Момент инерции человека:

$\text{[}{I}_{\text{человек,2}}=m\cdot R_2^2=m\cdot R^2\text{]}$

Момент инерции платформы не изменился:

$\text{[}{I}_{\text{платформа,2}}=I_{\text{платформа}}=M\cdot \frac{R^2}{2}\text{]}$

Общий момент инерции:

$\text{[}{I}_2=I_{\text{платформа}}+I_{\text{человек,2}}=M\cdot \frac{R^2}{2}+m\cdot R^2\text{]}$

Вынесем $\text{(}{R}^2\text{)}$ за скобку:

$\text{[}{I}_2=R^2(\frac{M}{2}+m)\text{]}$

Рассчитываем значение:

$\text{[}{I}_2=R^2(\frac{100}{2}+60)=R^2(50+60)=R^2\cdot 110\text{]}$

Момент импульса:

$\text{[}{L}_2=I_2\cdot {\omega }_2\text{]}$

---

4. Закон сохранения момента импульса

Так как момент импульса сохраняется:

$\text{[}{L}_1=L_2\text{]}$

Подставляем выражения:

$\text{[}{R}^2\cdot 56.67\cdot \pi =R^2\cdot 110\cdot {\omega }_2\text{]}$

Сокращаем на $\text{(}{R}^2\text{)}$:

$\text{[}56.67\cdot \pi =110\cdot {\omega }_2\text{]}$

Выражаем $\text{(}{\omega }_2\text{)}$:

$\text{[}{\omega }_2=\frac{56.67\cdot \pi }{110}\text{]}$

Рассчитываем:

$\text{[}{\omega }_2\approx 1.62\text{рад/с}\text{]}$

Переводим в обороты в секунду:

$\text{[}{f}_2=\frac{{\omega }_2}{2\pi }=\frac{1.62}{2\pi }\approx 0.26\text{об/с}\text{]}$

---

Ответ

Количество оборотов платформы после перемещения человека составит:

$\text{[}{f}_2\approx 0.26\text{об/с}\text{]}$