Определить количество оборотов платформы в секунду после перемещения человека

Предмет и раздел

Данный вопрос относится к физике, а именно к разделу механика, подраздел динамика и законы сохранения (закон сохранения момента импульса).

---

Условие задачи

• Масса платформы \( M = 100 \, \text{кг} \).
• Масса человека \( m = 60 \, \text{кг} \).
• Начальная угловая скорость \( \omega_1 = 0.5 \, \text{об/с} \) (переведем это в радианы позже).
• Начальное положение человека: \( R_1 = \frac{R}{3} \).
• Конечное положение человека: \( R_2 = R \).
• Нужно определить количество оборотов платформы \( f_2 \) в секунду после перемещения человека.

---

Решение

Основной принцип, который будем использовать, — закон сохранения момента импульса:

\[ L_1 = L_2 \]

где \( L \) — момент импульса.

---

1. Напишем момент импульса системы

Момент инерции платформы \( I_{\text{платформа}} = M \cdot \frac{R^2}{2} \), потому что это диск.

Момент инерции человека \( I_{\text{человек}} = m \cdot r^2 \), где \( r \) — расстояние от центра вращения до человека.

Суммарный момент инерции системы:

\[ I_{\text{общий}} = I_{\text{платформа}} + I_{\text{человек}} \]

---

2. В начальном состоянии (момент \( L_1 \))

В начальном состоянии человек находится на расстоянии \( R_1 = \frac{R}{3} \).

Момент инерции человека:

\[ I_{\text{человек,1}} = m \cdot R_1^2 = m \cdot \left(\frac{R}{3}\right)^2 = m \cdot \frac{R^2}{9} \]

Момент инерции платформы:

\[ I_{\text{платформа,1}} = I_{\text{платформа}} = M \cdot \frac{R^2}{2} \]

Общий момент инерции:

\[ I_1 = I_{\text{платформа}} + I_{\text{человек,1}} = M \cdot \frac{R^2}{2} + m \cdot \frac{R^2}{9} \]

Вынесем \( R^2 \) за скобку:

\[ I_1 = \frac{R^2}{2} \cdot M + \frac{R^2}{9} \cdot m = R^2 \left( \frac{M}{2} + \frac{m}{9} \right) \]

Рассчитываем значение:

\[ I_1 = R^2 \left( \frac{100}{2} + \frac{60}{9} \right) = R^2 \left( 50 + 6.67 \right) = R^2 \cdot 56.67 \]

Момент импульса:

\[ L_1 = I_1 \cdot \omega_1 \]

Угловая скорость \( \omega_1 \) в радианах в секунду:

\[ \omega_1 = 0.5 \cdot 2\pi = \pi \, \text{рад/с} \]

Подставляем:

\[ L_1 = R^2 \cdot 56.67 \cdot \pi \]

---

3. В конечном состоянии (момент \( L_2 \))

После того как человек переместился, его расстояние от центра стало \( R_2 = R \).

Момент инерции человека:

\[ I_{\text{человек,2}} = m \cdot R_2^2 = m \cdot R^2 \]

Момент инерции платформы не изменился:

\[ I_{\text{платформа,2}} = I_{\text{платформа}} = M \cdot \frac{R^2}{2} \]

Общий момент инерции:

\[ I_2 = I_{\text{платформа}} + I_{\text{человек,2}} = M \cdot \frac{R^2}{2} + m \cdot R^2 \]

Вынесем \( R^2 \) за скобку:

\[ I_2 = R^2 \left( \frac{M}{2} + m \right) \]

Рассчитываем значение:

\[ I_2 = R^2 \left( \frac{100}{2} + 60 \right) = R^2 \left( 50 + 60 \right) = R^2 \cdot 110 \]

Момент импульса:

\[ L_2 = I_2 \cdot \omega_2 \]

---

4. Закон сохранения момента импульса

Так как момент импульса сохраняется:

\[ L_1 = L_2 \]

Подставляем выражения:

\[ R^2 \cdot 56.67 \cdot \pi = R^2 \cdot 110 \cdot \omega_2 \]

Сокращаем на \( R^2 \):

\[ 56.67 \cdot \pi = 110 \cdot \omega_2 \]

Выражаем \( \omega_2 \):

\[ \omega_2 = \frac{56.67 \cdot \pi}{110} \]

Рассчитываем:

\[ \omega_2 \approx 1.62 \, \text{рад/с} \]

Переводим в обороты в секунду:

\[ f_2 = \frac{\omega_2}{2\pi} = \frac{1.62}{2\pi} \approx 0.26 \, \text{об/с} \]

---

Ответ

Количество оборотов платформы после перемещения человека составит:

\[ f_2 \approx 0.26 \, \text{об/с} \]