Предмет: Физика
Раздел предмета: Механика — Динамика вращательного и поступательного движения тел
Условие:
Полная кинетическая энергия катящегося шара равна 24 Дж. Необходимо определить кинетическую энергию поступательного и вращательного движения шара.
Решение:
Когда шар катится без скольжения, его полная кинетическая энергия — это сумма кинетических энергий его поступательного и вращательного движений.
Полную кинетическую энергию \( E_{\text{total}} \) можно записать следующим образом:
\[ E_{\text{total}} = E_{\text{пост}} + E_{\text{вращ}}, \]
где:
- \( E_{\text{пост}} \) — кинетическая энергия поступательного движения,
- \( E_{\text{вращ}} \) — кинетическая энергия вращательного движения.
Формулы для кинетической энергии:
-
Кинетическая энергия поступательного движения:
\[ E_{\text{пост}} = \frac{1}{2} m v^2, \]
где \( m \) — масса шара, \( v \) — его поступательная скорость.
-
Кинетическая энергия вращательного движения:
\[ E_{\text{вращ}} = \frac{1}{2} I \omega^2, \]
где \( I \) — момент инерции шара, \( \omega \) — угловая скорость вращения.
Момент инерции и угловая скорость:
Для шарообразного тела, катящегося без скольжения, существует связь между поступательной скоростью и угловой скоростью:
\[ v = \omega R, \] где \( R \) — радиус шара.
Момент инерции для однородного сплошного шара относительно оси, проходящей через центр, равен:
\[ I = \frac{2}{5} m R^2. \]
Суммарная кинетическая энергия:
В случае, когда шар катится без скольжения, полную кинетическую энергию можно выразить через поступательную скорость \( v \). Так как \( v = \omega R \), то кинетическая энергия поступательного и вращательного движений связаны.
-
Кинетическая энергия вращения через \( v \) и \( R \):
\[ E_{\text{вращ}} = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} m R^2 \cdot \frac{v^2}{R^2} = \frac{1}{5} m v^2. \]
-
Кинетическая энергия поступательного движения через \( v \):
\[ E_{\text{пост}} = \frac{1}{2} m v^2. \]
Теперь выразим полную кинетическую энергию:
\[ E_{\text{total}} = E_{\text{пост}} + E_{\text{вращ}} = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{5} m v^2 = \frac{7}{10} m v^2. \]
Зная, что полная кинетическая энергия \( E_{\text{total}} \) равна 24 Дж, можем записать следующее уравнение:
\[ \frac{7}{10} m v^2 = 24 \text{ Дж}. \]
Распределение кинетической энергии:
- Доля поступательной энергии по сравнению с полной энергией:
\[ \frac{E_{\text{пост}}}{E_{\text{total}}} = \frac{\left(\frac{1}{2} m v^2\right)}{\left(\frac{7}{10} m v^2\right)} = \frac{5}{7}. \]
- Доля вращательной энергии:
\[ \frac{E_{\text{вращ}}}{E_{\text{total}}} = \frac{\left(\frac{1}{5} m v^2\right)}{\left(\frac{7}{10} m v^2\right)} = \frac{2}{7}. \]
Фактические значения энергий:
- Кинетическая энергия поступательного движения:
\[ E_{\text{пост}} = \frac{5}{7} \cdot 24 = 17.14 \text{ Дж}. \]
- Кинетическая энергия вращательного движения:
\[ E_{\text{вращ}} = \frac{2}{7} \cdot 24 = 6.86 \text{ Дж}. \]
Ответ:
- Кинетическая энергия поступательного движения: \( E_{\text{пост}} = 17.14 \text{ Дж} \)
- Кинетическая энергия вращательного движения: \( E_{\text{вращ}} = 6.86 \text{ Дж} \)