Определение скорости и ускорения

Это задание относится к области физики, раздел кинематика. Нам дан радиус-вектор векторной точки \(\vec{r}\): \[\vec{r} = (b \cos \omega t) \vec{i} + (b \sin \omega t) \vec{j}\] где \(\omega\) и \(b\) — постоянные величины.

Определение скорости и ускорения

Скорость \(\vec{v}\) — это первая производная радиус-вектора по времени: \[\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt}\] Вторая производная радиус-вектора по времени дает ускорение \(\vec{a}\): \[\vec{a} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2}\]

Находим скорость:

\[\vec{r} = (b \cos \omega t) \vec{i} + (b \sin \omega t) \vec{j}\] Берем производные по времени: \[\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d}{dt}\left((b \cos \omega t) \vec{i} + (b \sin \omega t) \vec{j}\right)\] Используем производные от тригонометрических функций \(\cos\) и \(\sin\): \[\frac{d}{dt}(b \cos \omega t) = -b \omega \sin \omega t\] \[\frac{d}{dt}(b \sin \omega t) = b \omega \cos \omega t\] Таким образом: \[\vec{v} = (-b \omega \sin \omega t) \vec{i} + (b \omega \cos \omega t) \vec{j}\]

Находим ускорение:

Теперь определим ускорение \(\vec{a}\): Берем вторую производную радиус-вектора: \[\vec{a} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2} = \frac{d}{dt}\left((-b \omega \sin \omega t) \vec{i} + (b \omega \cos \omega t) \vec{j}\right)\] Берем производные по времени: \[\frac{d}{dt}(-b \omega \sin \omega t) = -b \omega^2 \cos \omega t\] \[\frac{d}{dt}(b \omega \cos \omega t) = -b \omega^2 \sin \omega t\] Следовательно: \[\vec{a} = (-b \omega^2 \cos \omega t) \vec{i} + (-b \omega^2 \sin \omega t) \vec{j}\]

Уравнение траектории

Для определения уравнения траектории выразим \(x\) и \(y\) через \(\cos\) и \(\sin\): \[x = b \cos \omega t\] \[y = b \sin \omega t\] Так как \(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1\), возведем в квадрат и сложим два уравнения: \[\left(\frac{x}{b}\right)^2 + \left(\frac{y}{b}\right)^2 = \cos^2 \omega t + \sin^2 \omega t = 1\] Таким образом, уравнение траектории имеет вид окружности радиуса \(b\): \[\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad \text{или} \quad x^2 + y^2 = b^2\]

Итоговые решения:

• Скорость: \[\vec{v} = (-b \omega \sin \omega t) \vec{i} + (b \omega \cos \omega t) \vec{j}\]
• Ускорение: \[\vec{a} = (-b \omega^2 \cos \omega t) \vec{i} + (-b \omega^2 \sin \omega t) \vec{j}\]
• Уравнение траектории: \[x^2 + y^2 = b^2\]

Для наглядности можно начертить окружность радиуса \(b\) с центром в начале координат (0,0) в координатах \(x\) и \(y\).