Определение скорости и ускорения

Условие:

Решить

Решение:

Это задание относится к области физики, раздел кинематика. Нам дан радиус-вектор векторной точки \(\vec{r}\): \[ \vec{r} = (b \cos \omega t) \vec{i} + (b \sin \omega t) \vec{j} \] где \(\omega\) и \(b\) — постоянные величины. ### Определение скорости и ускорения Скорость \(\vec{v}\) — это первая производная радиус-вектора по времени: \[ \vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} \] Вторая производная радиус-вектора по времени дает ускорение \(\vec{a}\): \[ \vec{a} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2} \] ### Находим скорость: \[ \vec{r} = (b \cos \omega t) \vec{i} + (b \sin \omega t) \vec{j} \] Берем производные по времени: \[ \vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d}{dt} \left( (b \cos \omega t) \vec{i} + (b \sin \omega t) \vec{j} \right) \] Используем производные от тригонометрических функций \(\cos\) и \(\sin\): \[ \frac{d}{dt} (b \cos \omega t) = -b \omega \sin \omega t \] \[ \frac{d}{dt} (b \sin \omega t) = b \omega \cos \omega t \] Таким образом: \[ \vec{v} = (-b \omega \sin \omega t) \vec{i} + (b \omega \cos \omega t) \vec{j} \] ### Находим ускорение: Теперь определим ускорение \(\vec{a}\): Берем вторую производную радиус-вектора: \[ \vec{a} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2} = \frac{d}{dt} \left( (-b \omega \sin \omega t) \vec{i} + (b \omega \cos \omega t) \vec{j} \right) \] Берем производные по времени: \[ \frac{d}{dt} (-b \omega \sin \omega t) = -b \omega^2 \cos \omega t \] \[ \frac{d}{dt} (b \omega \cos \omega t) = -b \omega^2 \sin \omega t \] Следовательно: \[ \vec{a} = (-b \omega^2 \cos \omega t) \vec{i} + (-b \omega^2 \sin \omega t) \vec{j} \] ### Уравнение траектории Для определения уравнения траектории выразим \(x\) и \(y\) через \(\cos\) и \(\sin\): \[ x = b \cos \omega t \] \[ y = b \sin \omega t \] Так как \(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1\), возведем в квадрат и сложим два уравнения: \[ \left(\frac{x}{b}\right)^2 + \left(\frac{y}{b}\right)^2 = \cos^2 \omega t + \sin^2 \omega t = 1 \] Таким образом, уравнение траектории имеет вид окружности радиуса \(b\): \[ \frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad \text{или} \quad x^2 + y^2 = b^2 \] ### Итоговые решения: 1. **Скорость:** \[ \vec{v} = (-b \omega \sin \omega t) \vec{i} + (b \omega \cos \omega t) \vec{j} \] 2. **Ускорение:** \[ \vec{a} = (-b \omega^2 \cos \omega t) \vec{i} + (-b \omega^2 \sin \omega t) \vec{j} \] 3. **Уравнение траектории:** \[ x^2 + y^2 = b^2 \] Для наглядности можно начертить окружность радиуса \(b\) с центром в начале координат (0,0) в координатах \(x\) и \(y\).