Предмет: Физика
Раздел: Механика (динамика, статика, вращательное движение)
Рассмотрим решение задачи из первого пункта.
Задача 1. Определение момента инерции составной системы.
Условие: На концах однородного тонкого стержня длиной \( l = 1 \, \text{м} \) и массой \( 3m \), прикреплены маленькие шарики массами \( m \) и \( 2m \). Найти момент инерции системы относительно оси, перпендикулярной стержню, проходящей через его центр — точку \( O \). \( m = 0,1 \, \text{кг} \).
Решение:
Шаг 1. Основные формулы.
- Момент инерции определяется как: \[ I = \sum m_i r_i^2, \] где \( m_i \) — массы тел, \( r_i \) — расстояние от оси до каждой массы.
- Учтем, что однородный стержень массой \( 3m \) также имеет распределение массы, и его момент инерции относительно оси, проходящей через центр и перпендикулярной стержню, равен: \[ I_{\text{стержня}} = \frac{1}{12} M l^2, \] где \( M \) — масса стержня, \( l \) — его длина.
Шаг 2. Момент инерции каждого элемента системы.
- Момент инерции стержня: Его масса \( 3m = 3 \cdot 0,1 = 0,3 \, \text{кг} \), длина \( l = 1 \, \text{м} \):
\[ I_{\text{стержня}} = \frac{1}{12} (3m) l^2 = \frac{1}{12} (0,3) (1)^2 = \frac{0,3}{12} = 0,025 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2. \]
- Момент инерции шариков: У первого шарика \( m = 0,1 \, \text{кг} \), расстояние от центра \( r = \frac{l}{2} = 0,5 \, \text{м} \). У второго шарика \( M = 2m = 0,2 \, \text{кг} \), расстояние тоже \( r = 0,5 \, \text{м} \). Считаем моменты инерции шариков как точечных масс:
\[ I_{\text{шарик 1}} = m r^2 = 0,1 \cdot 0,5^2 = 0,1 \cdot 0,25 = 0,025 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2, \]
\[ I_{\text{шарик 2}} = (2m) r^2 = 0,2 \cdot 0,5^2 = 0,2 \cdot 0,25 = 0,05 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2. \]
Шаг 3. Полный момент инерции системы:
Складываем все моменты инерции:
\[ I_{\text{общий}} = I_{\text{стержня}} + I_{\text{шарик 1}} + I_{\text{шарик 2}}, \]
\[ I_{\text{общий}} = 0,025 + 0,025 + 0,05 = 0,1 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2. \]
Ответ:
Момент инерции системы относительно заданной оси равен: