Найти высоту спутника над поверхностью Земли

Предмет: Физика
Раздел: Механика, раздел "Законы движения тел", подраздел "Движение по окружности", также используется закон всемирного тяготения.

Условие задачи:

Период обращения искусственного спутника Земли составляет 3 часа.
Орбита считается круговой.
Найти высоту спутника над поверхностью Земли.

Шаг 1. Запишем известные данные:

• Период обращения спутника:
  T = 3 \text{ ч} = 3 \cdot 3600 = 10800 \text{ с}

• Радиус Земли:
  R_З = 6{,}371 \cdot 10^6 \text{ м}

• Гравитационная постоянная:
  G = 6{,}674 \cdot 10^{-11} \, \text{м}^3/\text{кг} \cdot \text{с}^2

• Масса Земли:
  M_З = 5{,}972 \cdot 10^{24} \, \text{кг}

Шаг 2. Используем закон всемирного тяготения и второй закон Ньютона

Для тела, движущегося по круговой орбите, центростремительное ускорение создаётся силой тяготения:

\frac{G M_З m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}

Где:

• r — расстояние от центра Земли до спутника (радиус орбиты),
• v — орбитальная скорость спутника,
• m — масса спутника (сократится).

Сокращаем массу спутника и выражаем скорость:

v = \sqrt{\frac{G M_З}{r}}

Также знаем, что период обращения по круговой орбите:

T = \frac{2\pi r}{v}

Подставим выражение для v:

T = \frac{2\pi r}{\sqrt{\frac{G M_З}{r}}} = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{G M_З}}

Теперь выразим r:

\left( \frac{T}{2\pi} \right)^2 = \frac{r^3}{G M_З}

r^3 = \left( \frac{T}{2\pi} \right)^2 \cdot G M_З

r = \sqrt[3]{\left( \frac{T}{2\pi} \right)^2 \cdot G M_З}

Шаг 3. Подставим численные значения:

r = \sqrt[3]{\left( \frac{10800}{2\pi} \right)^2 \cdot 6{,}674 \cdot 10^{-11} \cdot 5{,}972 \cdot 10^{24}}

Сначала вычислим:

\frac{10800}{2\pi} \approx \frac{10800}{6{,}2832} \approx 1718{,}87

Теперь:

r^3 \approx (1718{,}87)^2 \cdot 6{,}674 \cdot 10^{-11} \cdot 5{,}972 \cdot 10^{24}

r^3 \approx 2{,}957 \cdot 10^6 \cdot 3{,}986 \cdot 10^{14} \approx 1{,}178 \cdot 10^{21}

r \approx \sqrt[3]{1{,}178 \cdot 10^{21}} \approx 1{,}05 \cdot 10^7 \text{ м} = 10{,}5 \cdot 10^6 \text{ м}

Шаг 4. Найдём высоту над поверхностью Земли:

h = r - R_З = (10{,}5 \cdot 10^6) - (6{,}371 \cdot 10^6) = 4{,}129 \cdot 10^6 \text{ м} = 4129 \text{ км}

Ответ:

h \approx 4129 \text{ км}

Высота спутника над поверхностью Земли составляет приблизительно 4129 км.