Найти угол наклона поверхности жидкости

Предмет: Физика

Раздел: Механика жидкости

Задание: Найти угол наклона поверхности жидкости и доказать, что поверхность представляет собой параболоид вращения.

Решение:

1. Поверхность жидкости и центробежная сила: Поверхность жидкости в цилиндрическом сосуде, вращающемся с частотой \( \nu = 2 \text{ об/с} \), примет форму параболоида вращения. Жидкость под действием центробежных сил будет выталкиваться к стенкам сосуда, образуя характерную воронкообразную форму.
2. Дифференциальное уравнение поверхности: Уравнение поверхности свободной жидкости можно найти из условия равновесия малой объемной части жидкости. Рассмотрим точку на поверхности на расстоянии \( r \) от оси вращения. Пусть потенциальная энергия на высоте \( h \) над уровнем центра масс будет уравновешена центробежной силой на расстоянии \( r \) от оси: \[ \frac{v^2 r^2}{2} = gh \] где \( g \) — ускорение свободного падения. Согласно этому уравнению: \[ h(r) = \frac{v^2 r^2}{2g} \]
3. Нахождение угла наклона: Чтобы найти угол наклона поверхности жидкости к горизонту в точке на расстоянии \( r \) от оси: Возьмем производную \( h(r) \) по \( r \): \[ \frac{dh}{dr} = \frac{v^2 r}{g} \] Угол наклона \( \alpha \) будет следующим: \[ \tan \alpha = \frac{dh}{dr} = \frac{v^2 r}{g} \] Подставив \( r = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м} \) и \( v = 2 \text{ об/с} \), учтем, что \( v \) нужно перевести в радианы в секунду: \[ \omega = 2\pi \nu = 2\pi \cdot 2 = 4\pi \text{ рад/с} \] Тогда: \[ \tan \alpha = \frac{(4\pi)^2 \cdot 0.05}{9.81} \approx \frac{16 \cdot 9.87 \cdot 0.05}{9.81} \] \[ \tan \alpha \approx 0.314 \] Следовательно: \[ \alpha = \arctan(0.314) \approx 17.5^\circ \]
4. Доказательство параболической формы: Уравнение полученной поверхности жидкости: \[ h(r) = \frac{\left( 4\pi r \right)^2}{2g} \] является уравнением параболы \( z = ar^2 \), где \( a = \frac{16\pi^2}{2g} \). Это доказывает, что поверхность жидкости представляет собой параболоид вращения.

Ответ: Угол наклона поверхности жидкости к горизонту на расстоянии \( r = 5 \text{ см} \) от оси равен примерно \( 17.5^\circ \). Поверхность жидкости в сосуде представляется параболоидом вращения.