Найти угол, для которого натяжение силы минимально

Задание относится к курсу физики, а именно к разделу механики, подразделу динамики.

Рассмотрим силы, действующие на брусок. На него действует сила натяжения нити \( F \), направленная под углом \( \alpha \) к горизонтали, сила тяжести \( mg \), нормальная реакция опоры \( N \) и сила трения \( F_{\text{тр}} \), равная \( \mu N \).

Разложим силу \( F \) на горизонтальную и вертикальную составляющие:

\[ F_x = F \cos \alpha \]

\[ F_y = F \sin \alpha \]

Т.к. брусок движется с постоянной скоростью, сумма всех сил в горизонтальном и вертикальном направлениях равна нулю.

Для горизонтального направления:

\[ F \cos \alpha - F_{тр} = 0 \]

Для вертикального направления:

\[ N + F \sin \alpha - mg = 0 \]

Сила трения \( F_{\text{тр}} \) равна \( \mu N \). Подставим это в первое уравнение:

\[ F \cos \alpha = \mu N \]

Из второго уравнения выразим \( N \):

\[ N = mg - F \sin \alpha \]

Подставим выражение для \( N \) из второго уравнения в первое уравнение:

\[ F \cos \alpha = \mu (mg - F \sin \alpha) \]

Решим это уравнение относительно \( F \):

\[ F \cos \alpha = \mu mg - \mu F \sin \alpha \]

\[ F (\cos \alpha + \mu \sin \alpha) = \mu mg \]

\[ F = \frac{\mu mg}{\cos \alpha + \mu \sin \alpha} \]

Теперь найдем угол \( \alpha \), для которого натяжение силы \( F \) минимально. Для этого продифференцируем выражение \( F \) по углу \( \alpha \) и приравняем производную к нулю:

\[ \frac{d}{d \alpha} \left( \frac{\mu mg}{\cos \alpha + \mu \sin \alpha} \right) = 0 \]

Чтобы упростить расчет, воспользуемся функцией минимизации:

Эквивалентно этому уравнению:

\[ \cos \alpha = \mu \sin \alpha \]

\[ \tan \alpha = \mu \]

\[ \alpha = \arctan(\mu) \]

Таким образом, угол \( \alpha \), при котором натяжение нити будет наименьшим, равен:

\[ \alpha = \arctan(\mu) \]

Ответ: \( \alpha = \arctan(\mu) \).