Найти угол, для которого натяжение силы минимально

Условие:

Решение:

Задание относится к курсу физики, а именно к разделу механики, подразделу динамики. Рассмотрим силы, действующие на брусок. На него действует сила натяжения нити \( F \), направленная под углом \( \alpha \) к горизонтали, сила тяжести \( mg \), нормальная реакция опоры \( N \) и сила трения \( F_{\text{тр}} \), равная \( \mu N \). Разложим силу \( F \) на горизонтальную и вертикальную составляющие: \[ F_x = F \cos \alpha \] \[ F_y = F \sin \alpha \] Т.к. брусок движется с постоянной скоростью, сумма всех сил в горизонтальном и вертикальном направлениях равна нулю. Для горизонтального направления: \[ F \cos \alpha - F_{тр} = 0 \] Для вертикального направления: \[ N + F \sin \alpha - mg = 0 \] Сила трения \( F_{\text{тр}} \) равна \( \mu N \). Подставим это в первое уравнение: \[ F \cos \alpha = \mu N \] Из второго уравнения выразим \( N \): \[ N = mg - F \sin \alpha \] Подставим выражение для \( N \) из второго уравнения в первое уравнение: \[ F \cos \alpha = \mu (mg - F \sin \alpha) \] Решим это уравнение относительно \( F \): \[ F \cos \alpha = \mu mg - \mu F \sin \alpha \] \[ F (\cos \alpha + \mu \sin \alpha) = \mu mg \] \[ F = \frac{\mu mg}{\cos \alpha + \mu \sin \alpha} \] Теперь найдем угол \( \alpha \), для которого натяжение силы \( F \) минимально. Для этого продифференцируем выражение \( F \) по углу \( \alpha \) и приравняем производную к нулю: \[ \frac{d}{d \alpha} \left( \frac{\mu mg}{\cos \alpha + \mu \sin \alpha} \right) = 0 \] Чтобы упростить расчет, воспользуемся функцией минимизации: Эквивалентно этому уравнению: \[ \cos \alpha = \mu \sin \alpha \] \[ \tan \alpha = \mu \] \[ \alpha = \arctan(\mu) \] Таким образом, угол \( \alpha \), при котором натяжение нити будет наименьшим, равен: \[ \alpha = \arctan(\mu) \] Ответ: \( \alpha = \arctan(\mu) \).