Найти угловое ускорение цилиндра

Этот вопрос относится к предмету "Физика", разделу "Динамика вращательного движения".

Анализ задачи

В задаче говорится об однородном сплошном цилиндре, падающем под действием силы тяжести. Нужно найти угловое ускорение. Для цилиндра, который опускается под действием силы тяжести, сила тяжести вызывает как поступательное движение центра масс, так и вращательное движение вокруг оси.

Основные формулы, которые нам понадобятся:

1. Закон вращательного движения: \(\tau = I \alpha\)
2. Момент инерции для цилиндра: \(I = \frac{1}{2}mR^2\)
3. Гравитационная сила: \(F = mg\)
4. Преобразование между линейным и угловым ускорениями: \(\alpha = \frac{a}{R}\)

Где:

• \(\tau\) — момент силы,
• \(I\) — момент инерции,
• \(\alpha\) — угловое ускорение,
• \(m\) — масса,
• \(R\) — радиус,
• \(g\) — ускорение свободного падения,
• \(a\) — линейное ускорение.

Решение

1. Выразим момент инерции цилиндра: \[ I = \frac{1}{2} m R^2 \]

Подставим известные значения:

\[ I = \frac{1}{2} \times 8.0\, \text{кг} \times (0.013\, \text{м})^2 = \frac{1}{2} \times 8.0 \times 0.000169\, \text{м}^2 = 0.000676\, \text{кг}\cdot\text{м}^2 \]
2. Найдем момент силы:

Момент силы является произведением силы тяжести и плеча силы (радиуса цилиндра):

\[ \tau = mgR \]

Подставим известные значения (где \( g \approx 9.8\, \text{м/с}^2 \)):

\[ \tau = 8.0\, \text{кг} \times 9.8\, \text{м/с}^2 \times 0.013\, \text{м} = 1.0144\, \text{Нм} \]
3. Теперь выразим угловое ускорение, используя закон вращательного движения \(\tau = I \alpha\):
\[ \alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{1.0144\, \text{Нм}}{0.000676\, \text{кг}\cdot\text{м}^2} \]

Рассчитаем:

\[ \alpha \approx 1500\, \text{рад/с}^2 \]

Ответ

Угловое ускорение цилиндра \(\alpha\) приблизительно составляет \(1500\, \text{рад/с}^2\). Обратите внимание, что результат может быть настолько большим в зависимости от данных задачи и допустимых округлений в ходе вычисления.