Найти скорости на концах горизонтального диаметра

Условие задачи

Дано:

• Диск катится без скольжения по горизонтальной плоскости.
• Центр масс движется с постоянным ускорением \( a = 0.025 \, \frac{м}{с^2} \).
• Начальная скорость \( v_0 = 0 \).

Найти: Модуль и направление скорости концов горизонтального диаметра через \( t = 2 \) секунды после начала движения.

Разбор и решение задачи

Задача относится к предмету механика, раздел кинематика твердого тела.

1. Кинематика центра масс

Для центра масс, который движется с ускорением \( a = 0.025 \, \frac{м}{с^2} \), можем использовать формулу движения с постоянным ускорением:

\[ v_{\text{cm}} = v_0 + a t \]

Подставим данные:

\[ v_{\text{cm}} = 0 + 0.025 \cdot 2 = 0.05 \, \frac{м}{с} \]

2. Угловая скорость диска

Для без скольжения выполняется связь линейной и угловой скорости (случай чистого катания):

\[ v_{\text{cm}} = R \omega \]

где \( R \) — радиус диска, \( \omega \) — угловая скорость.

Найдём угловую скорость:

\[ \omega = \frac{v_{\text{cm}}}{R} \]

3. Скорости концов горизонтального диаметра

При катании без скольжения скорость любого элемента диска складывается из скорости поступательного движения и скорости вращения. Для верхнего конца диска (точка A):

\[ v_A = v_{\text{cm}} + R\omega \]

Для нижнего конца диска (точка B):

\[ v_B = v_{\text{cm}} - R\omega \]

Так же следует учитывать, что после подстановки значений и учета направления движений итоговая формула может выглядеть более конкретно.

Разложим с учетом направления

Если центр масс движется вправо, то верхняя точка движется быстрее вправо, а нижняя медленнее (или даже влево). Расчитываем \( R\omega \):

\[ R\omega = v_{\text{cm}} \]

Так как \( v_{\text{cm}} = 0.05 \, \frac{м}{с}\):

\[ v_A = v_{\text{cm}} + v_{\text{cm}} = 2 v_{\text{cm}} \]

\[ v_B = v_{\text{cm}} - v_{\text{cm}} = 0 \]

Итоговые скорости:

• Для верхнего конца (A) скорость: \[ v_A = 2 \cdot 0.05 = 0.1 \, \frac{м}{с} \]
• Для нижнего конца (B) скорость: \[ v_B = 0 \]

Ответ:

• Модуль и направление скорости верхнего конца (точка A): \( 0.1 \, \frac{м}{с} \) вправо.
• Модуль и направление скорости нижнего конца (точка B): \( 0 \, \frac{м}{с} \).